Исследовать функцию

[Charlz_Klug]

Схема полного исследования и построения графика функции.

1) Найти область определения.
2) Найти точки пересечения с осями координат.
3) Определить области постоянства знака (промежутки, на которых $f(x)>0$ и $f(x)<0$).
4) Определить чётность (нечётность), периодичность.
5) Найти асимптоты графика.
6) Вычислить $f'(x)$, найти промежутки возрастания и убывания функции.
7) Найти экстремумы.
8) Вычислить $f''(x)$, найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.
9) Нарисовать график функции.

Функция: $y=\sqrt[3]{x^3+x^2}$.

Пожалуйста, проверьте моё решение.
Решение:
1) Область определения функции: $x \in (-\infty; \infty)$.
2) Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс положим $y=0$, тогда, $\sqrt[3]{x^3+x^2}=0 \Rightarrow x^3+x^2=0 \Rightarrow x^2(x+1)=0$, получаем: $x_1=0$, $x_2=-1$. Значит, ось абсцисс пересекается в точках $x=-1$ и $x=0$. Ось ординат пересекается в точке $y=0$.
3) Для нахождения областей постоянства знака решим уравнение $\sqrt[3]{x^3+x^2}>0 \Rightarrow x^3+x^2>0 \Rightarrow x^2(x+1)>0 \Rightarrow x+1>0 \Rightarrow x>-1$. Следовательно, функция $y=\sqrt[3]{x^3+x^2}$ положительна при $x \in (-1; \infty)$ и отрицательна при $x \in (- \infty; -1)$.
4) Возьмём $x=-t$, тогда $y=\sqrt[3]{(-t)^3+(-t)^2}=\sqrt[3]{-t^3+t^2}=\sqrt[3]{t^2-t^3}\ne\sqrt[3]{t^3+t^2}\ne-\sqrt[3]{x^3+x^2}$. А это значит что функция $y=\sqrt[3]{x^3+x^2}$ является функцией общего вида.
5) Вертикальных асимптот у графика заданной функции нет. Но, есть наклонные асимптоты. Найдём $k=\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{\sqrt[3]{x^3+x^2}}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{\sqrt[3]{x^3(1 +\frac{1}{x})}}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{x \sqrt[3]{1 +\frac{1}{x}}}{x}}=\lim\limits_{x \to \infty}{\sqrt[3]{1 +\frac{1}{x}}}=$

$\sqrt[3]{1 +0}=\sqrt[3]{1}=1$.

Теперь ищем $b=\lim\limits_{x \to \infty}{(f(x)-kx)}=\lim\limits_{x \to \infty}{(\sqrt[3]{x^3+x^2}-x)}=\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{(\sqrt[3]{x^3+x^2}-x)(\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^3+x^2}+x^2)}{(\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^3+x^2}+x^2)}}=$

$\lim\limits_{x \to \infty}{\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} +\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}}+1}}=\frac{1}{3}$. Уравнение асимптоты $y=kx+b=x+\frac{1}{3}$.

До конца ещё не успел оформить.

[demolishka]

В пункте 3) Вы не до конца решили неравенство.

[Charlz_Klug]

demolishka в сообщении #1099178 писал(а):

В пункте 3) Вы не до конца решили неравенство.

Имеете в виду проверку на равенство нулю?

-- 14.02.2016, 00:28 --

6) Первая производная равна $y'=\frac{3x^2+2x}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}}$. Для нахождения промежутков возрастания и убывания решим неравенство $\frac{3x^2+2x}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}}>0 \Rightarrow \frac{3x(x+\frac{2}{3})}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}}>0 \Rightarrow \frac{x(x+\frac{2}{3})}{\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}}>0 \Rightarrow $

$x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -\frac{2}{3}) \cup (0; \infty)$. Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -\frac{2}{3}) \cup (0; \infty)$ и убывает на промежутке $x \in (-\frac{2}{3}; 0)$.

-- 14.02.2016, 00:33 --

7) Не знаю как быть с экстремумами. Если судить по $y'=0$, то локальным максимумом будет $x=-\frac{2}{3}$. А вообще сам график функции уходит от минус бесконечности к плюс бесконечности. Что в этом случае указывать?

[demolishka]

Charlz_Klug в сообщении #1099183 писал(а):

Имеете в виду проверку на равенство нулю?

Раз уж Вы написали строгое неравенство, то и ответ пишите к нему тот, который в действительности.

Для поиска экстремумов не всегда обязательно считать производную всей функции. Ведь корень - функция строго монотонная, значит его экстремумы это экстремумы подкоренного выражения. Да и вообще, монотонность композиции монотонных функций легко определяется.

Charlz_Klug в сообщении #1099183 писал(а):

Что в этом случае указывать?

Ваша задача это приближенное построение графика функции. Соответственно указывать нужно ту информацию, которая поможет Вам это сделать.

[Charlz_Klug]

8) $y''=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^4}}((6x+2)\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}-\frac{2}{3} \frac{9x^4+12x^3+4x^2}{\sqrt[3]{x^3+x^2}}) = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^4}}\frac{3(6x+2)(x^3+x^2)-18x^4-24x^3-8x^2}{3\sqrt[3]{x^3+x^2}}=$

$\frac{1}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^4}}\frac{3(6x^4+8x^3+2x^2)-18x^4-24x^3-8x^2}{3\sqrt[3]{x^3+x^2}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^4}}\frac{18x^4+24x^3+6x^2-18x^4-24x^3-8x^2}{3\sqrt[3]{x^3+x^2}}=$

$\frac{1}{3\sqrt[3]{(x^3+x^2)^4}}(-\frac{2x^2}{3\sqrt[3]{x^3+x^2}})=-\frac{2x^2}{9\sqrt[3]{(x^3+x^2)^5}}$. Для того, чтобы найти точку перегиба решим неравенство $-\frac{2x^2}{9\sqrt[3]{(x^3+x^2)^5}}>0 \Rightarrow -\frac{x^2}{\sqrt[3]{(x^3+x^2)^5}}>0 \Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt[3]{(x^3+x^2)^5}}<0 \Rightarrow \frac{x^2}{(x^3+x^2)\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}}<0 \Rightarrow \frac{x^2}{x^2(x+1)\sqrt[3]{(x^3+x^2)^2}}<0 \Rightarrow x \in (- \infty; -1)$. То есть в точке $x=-1$ меняет знак с минуса на плюс, отсюда следует что точка $x=-1$ является точкой перегиба и на промежутке $(- \infty; -1)$ график функции выпуклый вниз, а в промежутке $(-1; \infty)$ график функции выпуклый вверх

-- 14.02.2016, 01:58 --

demolishka в сообщении #1099189 писал(а):

Раз уж Вы написали строгое неравенство, то и ответ пишите к нему тот, который в действительности.

Ещё одна попытка:
3) Для нахождения областей постоянства знака решим уравнение $\sqrt[3]{x^3+x^2}>0 \Rightarrow x^3+x^2>0 \Rightarrow x^2(x+1)>0 \Rightarrow x+1>0 \Rightarrow x>-1$, значит, заданная функция больше нуля на промежутке $x \in (-1;0) \cup (0; \infty)$. Теперь рассмотрим $\sqrt[3]{x^3+x^2}<0 \Rightarrow x^3+x^2<0 \Rightarrow x^2(x+1)<0 \Rightarrow x+1<0 \Rightarrow x<-1$, делаем вывод, что заданная функция меньше нуля на промежутке $x \in (- \infty; -1)$.

[Charlz_Klug]

Пожалуйста, покритикуйте решение.

[demolishka]

Все правильно

[Otta]

Charlz_Klug в сообщении #1099183 писал(а):

7) Не знаю как быть с экстремумами. Если судить по $y'=0$, то...

Это необходимое условие (внутреннего) экстремума в точках дифференцируемости функции. Будьте внимательней, и авось еще что заметите.

Совершенно ту же оплошность Вы совершили и при исследовании на выпуклость.

И никогда не пишите так:

Charlz_Klug в сообщении #1099183 писал(а):

Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -\frac{2}{3}) \cup (0; \infty)$

когда имеете в виду то, что хотите сказать. Это все равно, что заявить, что функция $f(x)=1/x$ монотонно убывает на всей области определения, что неправда. Неправда ведь?

[Charlz_Klug]

Otta в сообщении #1099281 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1099183 писал(а):

7) Не знаю как быть с экстремумами. Если судить по $y'=0$, то...

Это необходимое условие (внутреннего) экстремума в точках дифференцируемости функции. Будьте внимательней, и авось еще что заметите.

Насколько я Вас понял вы имели в виду точки $x=-1$ и $x=0$, хоть в этих точках производная не определена, но максимума/минимума в этих точках функция не имеет?

Otta в сообщении #1099281 писал(а):

Совершенно ту же оплошность Вы совершили и при исследовании на выпуклость.

В смысле я упустил варианты когда вторая производная равна нулю и когда вторая производная не существует? Тогда вторая производная ни в какой точке не равна нулю, и не существует в точке $x=0$ и $x=-1$. При $x<-1$ знак второй производной больше нуля, это значит что на промежутке $x \in (- \infty; -1)$ график функции выпуклый вниз, в промежутке $x \in (-1; 0)$ вторая производная меньше нуля, поэтому на этом промежутке график функции выпуклый вверх, аналогично вторая производная меньше нуля на промежутке $x \in (0; \infty)$, а значит, что на этом промежутке график функции выпуклый вверх. А когда я заявил, что график функции функции выпуклый вверх на промежутке $x \in (-1; \infty)$ то я сделал ошибку включив в этот промежуток ещё и $0$.

Otta в сообщении #1099281 писал(а):

И никогда не пишите так:

Charlz_Klug в сообщении #1099183 писал(а):

Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -\frac{2}{3}) \cup (0; \infty)$

когда имеете в виду то, что хотите сказать. Это все равно, что заявить, что функция $f(x)=1/x$ монотонно убывает на всей области определения, что неправда. Неправда ведь?

Похоже, я нашёл ошибку: функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}]$ и на промежутке $x \in [0; \infty)$. Функция убывает на промежутке $x \in [-\frac{2}{3};0]$. Что касается функции $f(x)=1/x$, то она монотонно убывает на промежутке $x \in (-\infty; 0)$ и на промежутке $x \in (0; \infty)$, но не монотонно убывает на всей области определения. Верно?

[Otta]

Charlz_Klug в сообщении #1099315 писал(а):

Насколько я Вас понял вы имели в виду точки $x=-1$ и $x=0$, хоть в этих точках производная не определена, но максимума/минимума в этих точках функция не имеет?

Ну такого я иметь в виду никак не могла. Поскольку производная не определена, не работает это необходимое условие. И все. Но от того, что оно не работает, никто не может запретить Вашим точкам быть экстремумами, и кстати, у Вас одна из них им и будет. Вы же смотрите возрастание-убывание. Неужели не наводит на мысли? Схематически график нарисуйте хотя бы, для начала.

Charlz_Klug в сообщении #1099315 писал(а):

При $x<-1$ знак второй производной больше нуля, это значит что на промежутке $x \in (- \infty; -1)$ график функции выпуклый вниз, в промежутке $x \in (-1; 0)$ вторая производная меньше нуля, поэтому на этом промежутке график функции выпуклый вверх, аналогично вторая производная меньше нуля на промежутке $x \in (0; \infty)$, а значит, что на этом промежутке график функции выпуклый вверх.

Это правильно.

Charlz_Klug в сообщении #1099315 писал(а):

Похоже, я нашёл ошибку: функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}]$ и на промежутке $x \in [0; \infty)$. Функция убывает на промежутке $x \in [-\frac{2}{3};0]$. Что касается функции $f(x)=1/x$, то она монотонно убывает на промежутке $x \in (-\infty; 0)$ и на промежутке $x \in (0; \infty)$, но не монотонно убывает на всей области определения. Верно?

Верно.

[Charlz_Klug]

Otta в сообщении #1099326 писал(а):

Схематически график нарисуйте хотя бы, для начала.

Такой у меня получился рисунок. Здесь $A=-\frac{2}{3}$, $B=-1$. Начало координат соответствует $x=0$. И всё, я не могу разглядеть то, на что Вы намекаете.

-- 14.02.2016, 20:54 --

Или начало координат является локальным минимумом?

[Otta]

Не, ну а чем оно является? Определение-то помните еще?

[Charlz_Klug]

Otta в сообщении #1099355 писал(а):

Не, ну а чем оно является? Определение-то помните еще?

Нет. Могу соврать. Функция $f(x)$ имеет максимум (минимум) в точке $x_0$ если в окрестности $(x_0-t, x_0+t)$, где $t>0$ выполняется условие $f(x_0)\geqslant f(x)$ (для минимума $f(x_0)\leqslant f(x)$), где $x \in (x_0-t, x_0+t)$.

[Otta]

Примерно так, да. В некоторой окрестности. Ну а у Вас как? Есть такая окрестность, где неравенство выполнено или нет? Где значение в этой точке минимально?

[Charlz_Klug]

Otta в сообщении #1099365 писал(а):

Примерно так, да. В некоторой окрестности. Ну а у Вас как? Есть такая окрестность, где неравенство выполнено или нет? Где значение в этой точке минимально?

Такую окрестность можно подобрать только для точки $x=-\frac{2}{3}$ (точка локального максимума) и точки $x=0$ (точка локального минимума). Для точки $x=-1$ какую-бы окрестность не подбирать, всегда найдётся такое $x$, для которого нарушатся требуемые условия.