Стереометрия. Есть ли способ проще решить?

[NL0]

В прямоугольном параллелипипеде $A..D_1$ известно, что $AB=8$, $BC=6$, $AA_1=12$, точка $K$ -- середина ребра $AD$, точка $M$ лежит на ребре $DD_1$, так, что $DM:DM_1=1:2$.
a) Докажите, что прямая $BD_1$ параллельна плоскости $CKM$
b) Найдите площадь сечения $CKM$.



Я хотел это доказать через признак параллельности прямой и плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

В связи с этим я провел плоскость $BDD_1$, которая пересекается с плоскостью $KMC$ по прямой $MF$.

Потому хотелось бы предположить, что $MF$ должна быть параллельна $D_1B$, но почему так? Не понимаю.

Нюансы вычислений:

Пусть $\alpha=\angle KCD$

$\tg\alpha=\dfrac{3}{8}=\dfrac{CH}{x}$, тогда $CH=\dfrac{3x}{8}$

Пусть $\beta=\angle KCD$

$\tg\beta=\dfrac{4}{3}=\dfrac{x}{y}$, тогда $y=\dfrac{3x}{4}$

Тогда по теореме фалеса $BF:FD=2:1$, потому $MF||BD_1$ из подобия.

Есть ли классический способ, но попроще решить это? (не координатный и не векторный?)

[DeBill]

NL0
Есть. Например, так.
Проведем диагональ $AC$, и пусть $O$ - точка пересечения диагоналей основания.
Тогда в тр-ке $ACD$ отрезки $CK$ и $DO$ -медианы. Поэтому $DF:FO = 2:1$.
Поэтому $DF = \frac{1}{3} DB$, и дальше - как у Вас...

[Someone]

Ещё вариант.
На продолжении стороны $DA$ за точку $A$ отложим отрезок $AL$ длины 3. Через точки $D$, $A$ и $L$ проведём прямые, параллельные прямой $KC$. Последняя из них проходит через точку $B$. На стороне $DL$ угла $\angle LDB$ эти четыре прямые отсекают равные отрезки, поэтому и на стороне $DB$ они отсекают равные отрезки.

[svv]

NL0 в сообщении #1099140 писал(а):

не координатный и не векторный

Как жаль! Ведь $\vec{D_1B}=2\vec{MK}+\vec{MC}$.

Вот замаскированный координатный способ.

Синие отрезки параллельны. Красные отрезки параллельны. Значит, плоскость $CKM$ параллельна плоскости $D_1PB$, в которой лежит прямая $D_1B$.