2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Стереометрия. Есть ли способ проще решить?
Сообщение13.02.2016, 18:47 
В прямоугольном параллелипипеде $A..D_1$ известно, что $AB=8$, $BC=6$, $AA_1=12$, точка $K$ -- середина ребра $AD$, точка $M$ лежит на ребре $DD_1$, так, что $DM:DM_1=1:2$.
a) Докажите, что прямая $BD_1$ параллельна плоскости $CKM$
b) Найдите площадь сечения $CKM$.

Изображение

Я хотел это доказать через признак параллельности прямой и плоскости. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в этой плоскости.

В связи с этим я провел плоскость $BDD_1$, которая пересекается с плоскостью $KMC$ по прямой $MF$.

Потому хотелось бы предположить, что $MF$ должна быть параллельна $D_1B$, но почему так? Не понимаю.

Нюансы вычислений:

Пусть $\alpha=\angle KCD$

$\tg\alpha=\dfrac{3}{8}=\dfrac{CH}{x}$, тогда $CH=\dfrac{3x}{8}$

Пусть $\beta=\angle KCD$

$\tg\beta=\dfrac{4}{3}=\dfrac{x}{y}$, тогда $y=\dfrac{3x}{4}$

Тогда по теореме фалеса $BF:FD=2:1$, потому $MF||BD_1$ из подобия.

Есть ли классический способ, но попроще решить это? (не координатный и не векторный?)

 
 
 
 Re: Стереометрия. Есть ли способ проще решить?
Сообщение13.02.2016, 19:10 
NL0
Есть. Например, так.
Проведем диагональ $AC$, и пусть $O$ - точка пересечения диагоналей основания.
Тогда в тр-ке $ACD$ отрезки $CK$ и $DO$ -медианы. Поэтому $DF:FO = 2:1$.
Поэтому $DF = \frac{1}{3} DB$, и дальше - как у Вас...

 
 
 
 Re: Стереометрия. Есть ли способ проще решить?
Сообщение13.02.2016, 19:31 
Аватара пользователя
Ещё вариант.
На продолжении стороны $DA$ за точку $A$ отложим отрезок $AL$ длины 3. Через точки $D$, $A$ и $L$ проведём прямые, параллельные прямой $KC$. Последняя из них проходит через точку $B$. На стороне $DL$ угла $\angle LDB$ эти четыре прямые отсекают равные отрезки, поэтому и на стороне $DB$ они отсекают равные отрезки.

 
 
 
 Re: Стереометрия. Есть ли способ проще решить?
Сообщение13.02.2016, 19:32 
Аватара пользователя
NL0 в сообщении #1099140 писал(а):
не координатный и не векторный
Как жаль! Ведь $\vec{D_1B}=2\vec{MK}+\vec{MC}$.

Вот замаскированный координатный способ.
Изображение
Синие отрезки параллельны. Красные отрезки параллельны. Значит, плоскость $CKM$ параллельна плоскости $D_1PB$, в которой лежит прямая $D_1B$.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group