Оценка количества действительных корней системы нелинейных у

[DeBill]

Lenar0809 в сообщении #1098521 писал(а):

22 переменных

Кошмар! Ну, тогда понятно. И тогда, кстати, Вам таки потребуется та моя задачка про ладьи (Вы поняли, при чем тут она?)
Ответ в ней, кстати : $\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot C^k_n \cdot (n-k)!$

[Lenar0809]

До шахматной доски я ещё не добрался . Не могли бы вы объяснить основное. Например: при сложении двух отрезков с координатами: первого- $(1;2)(3;4)$ и второго - $(6;1)(2;2)$, получается параллелограмм с координатами: $(7;3)(3;4)(9;5)(5;6)$. Не понятно как здесь фигурируют коэффициенты $a,b...$. Спасибо.

[DeBill]

Lenar0809 в сообщении #1098851 писал(а):

как здесь

Здесь - никак.
Но если мы возьмем два отрезка $I, J$, с концами (0,0), (2,0) и (0,0), (0,3), и произвольные положительные числа $a,b$, то:
$a\cdot I$ есть отрезок с концами $(0,0), (2a,0)$, $b\cdot J$ есть отрезок с концами $(0,0), (0,3b)$. Тогда $a\cdot I + b\cdot J$ есть прямоугольник с вершинами $(0,0), (2a,0), (0,3b), (2a,3b)$. Его площадь равна $2a\cdot 3b = 6ab$. Коэф-т при $ab$ равен 6. Это и есть (удвоенная) смешанная площадь $I$ и $J$ (Здесь нам повезло: никаких прочих мономов не было. В общем случае это не так - ну и ладно, нам интересен только один моном).
Проведите точно такие выкладки а) в трехмерном случае б) в четырехмерном - он как раз Вас и интересует. И уж тогда можно браться за общий...

[Lenar0809]

Доброе утро! Я ведь правильно понял, моя фигура - это четырёхмерный гиперкуб с длинами сторон - $a+b+c$, $b+c+d$, $a+b+d$ и $a+c+d$, и коэффициент при $abcd$ в $(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)$ равен 9?

[DeBill]

Lenar0809

Точно! И также будет и дальше. Причем в каждой скобке нет ровно одной буквы (пусть в первой - первой, и т.д.)...

[Lenar0809]

Спасибо! Ну и про ладьи вроде понятно. Задача описывает количество корней в системе $n$ уравнений с $k$ неизвестными? А вот нахождение на главной диагонали - это кратные корни?

[DeBill]

Lenar0809
Не, про ладьи - это про открытие скобок в большом произведении, которое у нас получилось.
А вот про кратные (комплексные) корни теорема Бернштейна ничего не обещает, увы.

С другой стороны, Ваши уравнения довольно специфичны. Может, кустарные приемы (см. выше) что-то и дадут хорошее?

[Lenar0809]

Может быть. Я попробую. Спасибо большое

-- 13.02.2016, 14:00 --

Я, конечно, извиняюсь, но вы уверены, что $\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot C^k_n \cdot (n-k)!$ правильная формула? Просто я на форуме http://www.nsu.ru/phorum/read.php?f=6&t=9343&a=1 нашёл решение данной задачи. И там выводится формула $\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot n!/(C^k_n \cdot (n-k)!)$. И она согласуется с практическими расчётами.

[DeBill]

Lenar0809 в сообщении #1099033 писал(а):

вы уверены,

Да. И она согласуется как с практическими расчетами, так и с формулой с того форума. (там, где $n=8$).
А вот Ваша формула при $n=3$ даёт "-4"

[Lenar0809]

А $C^k_n $ это количество возможных вариантов выбора $k$ строк из $n$? Т.е. если $n=3 $, то при $k=0$ - $C^k_n=1 $ , $k=1$ - $C^k_n=3 $, $k=2$ - $C^k_n=3 $, $k=3$ - $C^k_n=1 $?

[DeBill]

Lenar0809 в сообщении #1099120 писал(а):

А $C^k_n $ это количество

Да
Но есть и явная формула $C^k_n = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
Надо только помнить, что 0!=1

[Lenar0809]

Всё, теперь понял, всё стыкуется . Спасибо.

[Lenar0809]

Доброе утро! Я, конечно, жутко извиняюсь за надоедливость, но у меня возник вопрос. Случай немного усложняется и формула объёма приобретает вид: $(a+b+c+e+f)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)(e+d)(f+d)$. Какой будет зависимость для коэффициента при $abcdef$ в данном случае? Или хотя бы где можно почитать про это? Я правильно думаю, что нужно считать по частям? Я построил таблицу комбинаций в excel, у меня получилось 13.

[DeBill]

Lenar0809
Не очень понятно, в чем вопрос, т.к. не очень ясно, как будет выглядеть ваше произведение в общем случае. И почитать - не получится, только ручками....
Ну, а тут - да, 13. Можно так:если в первой скобке взять $f$, то в последней - $d$, в предпоследней - $e$, и остается задача для $n=3$.
Аналогично, если взять $e$; итого :$2\cdot 2 =4$ способа.
Если же в первой не брать ни $f$, ни $e$, то их надо брать в последних двух скобках - остается задача для $n=4$, с 9 вариантами. Итого: 13.

[Lenar0809]

Ну я так понимаю, универсальной формулы нет?