Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).

[default]

Здравствуйте. Я пытаюсь доказать, что $\mathrm{A}\setminus(\mathrm{B}\setminus\mathrm{C})=(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$ пока в одну сторону хотя бы. Получается следующее:

Пусть $x\in\mathrm{A}\setminus(\mathrm{B}\setminus\mathrm{C})$. Тогда $x\in\mathrm{A}$ и $x\notin\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$, по определению разности множеств. Если $x\notin\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$, то $x$ не принадлежит совокупности элементом множества $\mathrm{B}$, которые принадлежат только множеству $\mathrm{B}$...

Дальше продолжить рассуждения у меня, по-моему, не совсем получается.

Я пробую рассуждать дальше так:

Если $x\notin\mathrm{B}$, тогда $x\in\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}$, так как $\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}\subset\mathrm{B}$.
Если $x\notin\mathrm{B}$, тогда $x$ может быть в совокупности элементов $\mathrm{A}\cap\mathrm{C}$, так как $\mathrm{A}\cap\mathrm{C}$ не является подмножеством $\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$.
Значит $x\in\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}$ или $x\in\mathrm{A}\cap\mathrm{C}$. По определению объединения множеств, $x\in(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$. Значит $\mathrm{A}\setminus(\mathrm{B}\setminus\mathrm{C})\subset(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$.

Правильно ли я рассуждаю, полагая, что если $x\notin\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$, то $x\in(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$ ?

[iifat]

Если теряетесь в сложных построениях, попробуйте простой, но нудный способ. Наличие трёх множеств делит универсум на 8 (возможно, пустых) частей, элементы которых равноправны относительно выражений.

[garin99]

$\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}=\mathrm{A}\cap\overline{\mathrm{B}}$

[OneMore]

Интуитивно можно так.
1. Слева от равенства:
Из A исключили множество B, но "обрезанное", в B нет элементов из C.
2. Справа:
Из A исключили B, но добавили то, что исключили лишнего из А - элементы из С, которые были в B. Но ведь все что исключили лишнего из A, также элементы из A, общие с С?

[arseniiv]

default в сообщении #1099025 писал(а):

Дальше продолжить рассуждения у меня, по-моему, не совсем получается.

По определению $S = T$, если $x\in S$ эквивалентно $x\in T$. Просто выразите каждое из этих высказываний через $x\in A, x\in B, x\in C$ (их стоит для удобства назвать покороче — например, $a, b, c$) и алгебраически покажите эквивалентность. Например,

$$x\in A\setminus(B\setminus C) \Leftrightarrow a\wedge \neg(x\in B\setminus C)\Leftrightarrow a\wedge\neg(b\wedge\neg c),$$

а дальше руки развязаны. Как обычно, можно попытаться привести одно выражение к другому, или оба выражения к чему-то третьему.

Совершенно то же самое можно проделать, используя дополнение:

garin99 в сообщении #1099049 писал(а):

$\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}=\mathrm{A}\cap\overline{\mathrm{B}}$

Это будет такая же булева алгебра. Но если не определён универсум или не в ходу классы, вывод будет выглядеть не настолько же строго (или он должен будет быть с отвлекающими деталями).

[svv]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1099214 писал(а):

или он должен будет быть с отвлекающими деталями

Да, это высший пилотаж: построение доказательства, прорехи шероховатости в котором никто не сможет заметить, кроме автора.

[default]

arseniiv в сообщении #1099214 писал(а):

Просто выразите каждое из этих высказываний через $x\in A, x\in B, x\in C$ (их стоит для удобства назвать покороче — например, $a, b, c$) и алгебраически покажите эквивалентность.

Если я правильно Вас понял, то

$$x\in A\setminus(B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(x\in B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(b \wedge \neg c) \Leftrightarrow a \wedge (\neg b \vee \neg(\neg c)) \Leftrightarrow (a \wedge \neg b) \vee (a \wedge c) \Leftrightarrow (A\setminus B) \cup (A \cap C).$$

Я пытаюсь сделать это же, но рассуждениями, если так это можно назвать.

OneMore в сообщении #1099085 писал(а):

1. Слева от равенства:
Из A исключили множество B, но "обрезанное", в B нет элементов из C.
2. Справа:
Из A исключили B, но добавили то, что исключили лишнего из А - элементы из С, которые были в B. Но ведь все что исключили лишнего из A, также элементы из A, общие с С?

Про "слева от равенства" я понимаю. А вот "про справа" не могли бы Вы пояснить свою мысль. $A\setminus B$ это все элементы множества $A$, которые не принадлежат $B$, в том числе не принадлежат и $B\cap C$. То есть остаются элементы только множества $A$ и элементы $A\cap C$. Как получается, что "но добавили то, что исключили лишнего из А - элементы из С, которые были в B." ?

[arseniiv]

default в сообщении #1099372 писал(а):

Если я правильно Вас понял, то

$$x\in A\setminus(B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(x\in B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(b \wedge \neg c) \Leftrightarrow a \wedge (\neg b \vee \neg(\neg c)) \Leftrightarrow (a \wedge \neg b) \vee (a \wedge c) \Leftrightarrow (A\setminus B) \cup (A \cap C).$$

Точно. Ну разве что забыли справа $x\in{}$.

default в сообщении #1099372 писал(а):

Я пытаюсь сделать это же, но рассуждениями, если так это можно назвать.

А зачем? Ведь верно всё равно. В принципе, подобное можно сделать и с включениями каждого множества в другое, как вы начинали, и это уже будет легче перевести на обычный язык. Включение $A\setminus(B\setminus C)\subset(A\setminus B) \cup A \cap C$ превратится в a $\wedge \neg(b \wedge \neg c)\Rightarrow (a \wedge \neg b) \vee (a \wedge c)$, что можно снова упростить, а потом, идя в обратную сторону, подбирать слова и построить таким образом «вывод в словах».

Хотя преимуществ у него, конечно, здесь особых не будет. Если бы это была какая-то общая теорема, не связанная с множествами конкретного вида, польза от человекопонятного вывода перед не очень человекопонятным (но легко проверяемым) могла бы быть.

[default]

arseniiv в сообщении #1099377 писал(а):

А зачем?

Потому что в символах-действиях понимаю как это делается. А вот рассуждениями не получается у меня понять, почему справа от равно $(A\setminus B) \cup (A \cap C)$, в частности $A\setminus B$. Предполагаю, потому что $(A \cap C) \subset (A\setminus B)$ ?

arseniiv в сообщении #1099377 писал(а):

Ну разве что забыли справа $x\in{}$.

Поторопился. Прошу прощения.

[arseniiv]

default в сообщении #1099407 писал(а):

А вот рассуждениями не получается у меня понять, почему справа от равно $(A\setminus B) \cup (A \cap C)$, в частности $A\setminus B$. Предполагаю, потому что $(A \cap C) \subset (A\setminus B)$ ?

Последнее не обязательно верно: $A = A\cap A\not\subset A\setminus A = \varnothing$, если $A\ne\varnothing$.

(Оффтоп)

default в сообщении #1099407 писал(а):

Поторопился. Прошу прощения.

Вот это, кстати, ни к чему. Главное, что сами понимаете!