2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение13.02.2016, 12:49 


01/12/15
6
Здравствуйте. Я пытаюсь доказать, что $\mathrm{A}\setminus(\mathrm{B}\setminus\mathrm{C})=(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$ пока в одну сторону хотя бы. Получается следующее:

Пусть $x\in\mathrm{A}\setminus(\mathrm{B}\setminus\mathrm{C})$. Тогда $x\in\mathrm{A}$ и $x\notin\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$, по определению разности множеств. Если $x\notin\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$, то $x$ не принадлежит совокупности элементом множества $\mathrm{B}$, которые принадлежат только множеству $\mathrm{B}$...

Дальше продолжить рассуждения у меня, по-моему, не совсем получается.

Я пробую рассуждать дальше так:

Если $x\notin\mathrm{B}$, тогда $x\in\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}$, так как $\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}\subset\mathrm{B}$.
Если $x\notin\mathrm{B}$, тогда $x$ может быть в совокупности элементов $\mathrm{A}\cap\mathrm{C}$, так как $\mathrm{A}\cap\mathrm{C}$ не является подмножеством $\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$.
Значит $x\in\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}$ или $x\in\mathrm{A}\cap\mathrm{C}$. По определению объединения множеств, $x\in(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$. Значит $\mathrm{A}\setminus(\mathrm{B}\setminus\mathrm{C})\subset(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$.

Правильно ли я рассуждаю, полагая, что если $x\notin\mathrm{B}\setminus\mathrm{C}$, то $x\in(\mathrm{A}\setminus\mathrm{B})\cup(\mathrm{A}\cap\mathrm{C})$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение13.02.2016, 13:22 
Заслуженный участник


16/02/13
4109
Владивосток
Если теряетесь в сложных построениях, попробуйте простой, но нудный способ. Наличие трёх множеств делит универсум на 8 (возможно, пустых) частей, элементы которых равноправны относительно выражений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение13.02.2016, 13:42 


12/02/09
50
$\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}=\mathrm{A}\cap\overline{\mathrm{B}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение13.02.2016, 15:15 


29/12/12
21
Интуитивно можно так.
1. Слева от равенства:
Из A исключили множество B, но "обрезанное", в B нет элементов из C.
2. Справа:
Из A исключили B, но добавили то, что исключили лишнего из А - элементы из С, которые были в B. Но ведь все что исключили лишнего из A, также элементы из A, общие с С?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение14.02.2016, 03:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
default в сообщении #1099025 писал(а):
Дальше продолжить рассуждения у меня, по-моему, не совсем получается.
По определению $S = T$, если $x\in S$ эквивалентно $x\in T$. Просто выразите каждое из этих высказываний через $x\in A, x\in B, x\in C$ (их стоит для удобства назвать покороче — например, $a, b, c$) и алгебраически покажите эквивалентность. Например,$$x\in A\setminus(B\setminus C) \Leftrightarrow a\wedge \neg(x\in B\setminus C)\Leftrightarrow a\wedge\neg(b\wedge\neg c),$$а дальше руки развязаны. Как обычно, можно попытаться привести одно выражение к другому, или оба выражения к чему-то третьему.

Совершенно то же самое можно проделать, используя дополнение:
garin99 в сообщении #1099049 писал(а):
$\mathrm{A}\setminus\mathrm{B}=\mathrm{A}\cap\overline{\mathrm{B}}$
Это будет такая же булева алгебра. Но если не определён универсум или не в ходу классы, вывод будет выглядеть не настолько же строго (или он должен будет быть с отвлекающими деталями).

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение14.02.2016, 13:34 
Заслуженный участник


23/07/08
10640
Crna Gora

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1099214 писал(а):
или он должен будет быть с отвлекающими деталями
Да, это высший пилотаж: построение доказательства, прорехи шероховатости в котором никто не сможет заметить, кроме автора. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение14.02.2016, 20:36 


01/12/15
6
arseniiv в сообщении #1099214 писал(а):
Просто выразите каждое из этих высказываний через $x\in A, x\in B, x\in C$ (их стоит для удобства назвать покороче — например, $a, b, c$) и алгебраически покажите эквивалентность.

Если я правильно Вас понял, то
$$x\in A\setminus(B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(x\in B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(b \wedge \neg c) \Leftrightarrow a \wedge (\neg b \vee \neg(\neg c)) \Leftrightarrow (a \wedge \neg b) \vee (a \wedge c) \Leftrightarrow (A\setminus B) \cup (A \cap C).$$
Я пытаюсь сделать это же, но рассуждениями, если так это можно назвать.

OneMore в сообщении #1099085 писал(а):
1. Слева от равенства:
Из A исключили множество B, но "обрезанное", в B нет элементов из C.
2. Справа:
Из A исключили B, но добавили то, что исключили лишнего из А - элементы из С, которые были в B. Но ведь все что исключили лишнего из A, также элементы из A, общие с С?

Про "слева от равенства" я понимаю. А вот "про справа" не могли бы Вы пояснить свою мысль. $A\setminus B$ это все элементы множества $A$, которые не принадлежат $B$, в том числе не принадлежат и $B\cap C$. То есть остаются элементы только множества $A$ и элементы $A\cap C$. Как получается, что "но добавили то, что исключили лишнего из А - элементы из С, которые были в B." ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение14.02.2016, 20:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
default в сообщении #1099372 писал(а):
Если я правильно Вас понял, то
$$x\in A\setminus(B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(x\in B\setminus C) \Leftrightarrow a \wedge \neg(b \wedge \neg c) \Leftrightarrow a \wedge (\neg b \vee \neg(\neg c)) \Leftrightarrow (a \wedge \neg b) \vee (a \wedge c) \Leftrightarrow (A\setminus B) \cup (A \cap C).$$
Точно. Ну разве что забыли справа $x\in{}$.

default в сообщении #1099372 писал(а):
Я пытаюсь сделать это же, но рассуждениями, если так это можно назвать.
А зачем? Ведь верно всё равно. В принципе, подобное можно сделать и с включениями каждого множества в другое, как вы начинали, и это уже будет легче перевести на обычный язык. Включение $A\setminus(B\setminus C)\subset(A\setminus B) \cup A \cap C$ превратится в a $\wedge \neg(b \wedge \neg c)\Rightarrow (a \wedge \neg b) \vee (a \wedge c)$, что можно снова упростить, а потом, идя в обратную сторону, подбирать слова и построить таким образом «вывод в словах».

Хотя преимуществ у него, конечно, здесь особых не будет. Если бы это была какая-то общая теорема, не связанная с множествами конкретного вида, польза от человекопонятного вывода перед не очень человекопонятным (но легко проверяемым) могла бы быть. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение14.02.2016, 21:42 


01/12/15
6
arseniiv в сообщении #1099377 писал(а):
А зачем?

Потому что в символах-действиях понимаю как это делается. А вот рассуждениями не получается у меня понять, почему справа от равно $(A\setminus B) \cup (A \cap C)$, в частности $A\setminus B$. Предполагаю, потому что $(A \cap C) \subset (A\setminus B)$ ?

arseniiv в сообщении #1099377 писал(а):
Ну разве что забыли справа $x\in{}$.

Поторопился. Прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать, что A\(B\C) = (A\B) или (A и C).
Сообщение14.02.2016, 22:08 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
default в сообщении #1099407 писал(а):
А вот рассуждениями не получается у меня понять, почему справа от равно $(A\setminus B) \cup (A \cap C)$, в частности $A\setminus B$. Предполагаю, потому что $(A \cap C) \subset (A\setminus B)$ ?
Последнее не обязательно верно: $A = A\cap A\not\subset A\setminus A = \varnothing$, если $A\ne\varnothing$.

(Оффтоп)

default в сообщении #1099407 писал(а):
Поторопился. Прошу прощения.
Вот это, кстати, ни к чему. Главное, что сами понимаете!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group