Как представлять себе волновую функцию.

[Pulseofmalstrem]

Alex-Yu

(Оффтоп)

Всему свое время. Надо заметить, что сложно сказать когда Алисе было интереснее - падать в кроличью нору или уже окончательно упасть зафиксировав уровень чудесатости... Остаеться потом только брать кирку и самому копать дальше к новым чудесам.

[Alex-Yu]

(Оффтоп)

Pulseofmalstrem в сообщении #1098823 писал(а):

то сложно сказать когда Алисе было интереснее - падать в кроличью нору или уже окончательно упасть

Ничего сложного. Само-собой падать было интереснее. Во всяком случае в данном контексте.

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #1098821 писал(а):

Когда я изучал волновые уравнения, то обычно каждый учебник начинается с колебаний струны и волнового уравнения с оператором Даламбера. Ну там метод Фурье, формула Пуассона и понеслась. Потом бывают разные телеграфные уравнения и обобщенное волновое, а дальше молчок.

Потому что в учебник больше не влезает.

По сути, что такое "волновое уравнение", наверное, не формализовано. Хотя "архетипом" его является уравнение Д'Аламбера, но только архетипом. Дальше я пишу, подглядывая в Физическую Энциклопедию, статью Волны.

"Волновым уравнением" разумно называть любое уравнение (на функцию $\varphi(t;x,y,\ldots)$), в котором "бегут волны" - то есть, имеются решения вида $\varphi(ct-\mathbf{nx}).$ Такие уравнения начинаются даже с простейшего уравнения первого порядка

$$\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}+\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=\biggl(\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}+\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)\varphi=0.$$

Такие уравнения в физике встречаются редко: по такому уравнению не может побежать волна в обратную сторону, а физические волны обычно бегают в обе стороны (хотя есть и исключения). Для этого мы должны усложнить уравнение. Раз оператор $((1/c)\partial/\partial t+\partial/\partial x)$ зануляет волну, бегущую вперёд по оси $x,$ то добавим такой же, зануляющий волну назад:

$$\biggl(\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}-\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)\biggl(\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}+\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)\varphi=\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}=0.$$

Вот наше знакомое уравнение Д'Аламбера. Зачем ему второй порядок? Чтобы синусоида, сфотографированная в какой-то момент мгновенным снимком, "знала", куда она бежит: направо или налево. То есть, мгновенный снимок даёт не всю информацию, а только часть информации о состоянии; а всю информацию дают два мгновенных снимка: $\varphi|_{t=t_0}$   и   $\partial\varphi/\partial t|_{t=t_0}.$

Но точно так же, мы можем "сохранить" информацию в каких-то других хранилищах. Первая банальная мысль - это добавить ещё переменную $\psi,$ так чтобы иметь дело с двумя уравнениями:

$$\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}-\dfrac{\partial\psi}{\partial x}=0,\qquad \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\psi}{\partial t}-\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=0.$$

Но этим мы не добиваемся ничего нового, это просто другой способ записать предыдущее уравнение. Интересней воспользоваться комплексными числами, и здесь мы можем соорудить

$$i\hbar\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}=0$$

- уравнение Шрёдингера. Заодно упомяну, что если использовать ещё более сложные алгебраические объекты, можно построить, например, уравнение Дирака

$$\dfrac{i\hbar}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}-\sum i\hbar\hat{\alpha}_i\dfrac{\partial\varphi}{\partial x^i}-mc\hat{\beta}\varphi=0,$$

содержащее только производные первого порядка, но действующее на 4-компонентные комплексные векторы ($\hat{\alpha}_i$ и $\hat{\beta}$ - матрицы Дирака). На самом деле, оно является некоторым аналогом первого порядка для уравнения Клейна-Гордона второго порядка

$$\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}-\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\varphi=0,$$

которое уже может быть записано для скалярной функции.

Здесь стоит остановиться и передохнуть. Чем эти уравнения отличаются друг от друга? У них разные решения. Все они допускают решения в виде синусоидальной волны, но эти волны в них ведут себя по-разному: у них разные соотношения между частотой и длиной волны (волновым числом, пространственной частотой). Эти соотношения у них, соответственно,

$$\omega=\pm ck,\quad \omega^2=c^2\mathbf{k}^2\quad(\text{ДА}),\qquad \omega=\mathbf{k}^2\quad(\text{УШ}),\qquad \omega^2=c^2\mathbf{k}^2+m^2c^4\quad(\text{УД, КГ}).$$

Если изобразить их графики на плоскости $(k,\omega),$ то получатся разные линии: прямые, параболы, гиперболы. Что отображают эти графики и зависимости (дисперсионные уравнения / соотношения, законы дисперсии)? Название подсказывает аналогию с оптическим явлением дисперсии: для разной длины волны мы имеем разный показатель преломления, и соответственно разную скорость волны. Это становится буквально верным, если мы введём понятие фазовой скорости волны

$$v_\mathrm{ph}(k)=\dfrac{\omega}{k},$$

которая в одних случаях оказывается константой, в других - не константой. Если мы рассматриваем движение короткого волнового пакета, то также полезно оказывается понятие групповой скорости, которая вычисляется как

$$v_\mathrm{gr}(k)=\dfrac{d\omega}{dk},$$

и для нелинейных законов дисперсии может существенно отличаться от фазовой скорости. Здесь возникают разнообразные волновые явления: гребни волн могут обгонять волновой пакет ($v_\mathrm{ph}>v_\mathrm{gr}$), отставать от него ($v_\mathrm{ph}<v_\mathrm{gr}$), или даже бежать в обратную сторону! ($v_\mathrm{gr}<0$) Волновые пакеты могут стоять неподвижно. Функция $\omega(k)$ может быть многозначной, иметь несколько ветвей (мод).

Возникает вопрос: а что если наоборот, мы имеем некую зависимость $\omega(k),$ заданную "руками" (или взятую из эксперимента), и мы хотим понять, из какого волнового уравнения она происходит? Это решается обратным преобразованием Фурье. Для наших простейших дисперсионных уравнений (второго порядка) это даёт дифуры второго порядка, а в общем случае может дать дифуры высших порядков, бесконечных порядков, в общем случае интегро-дифференциальные уравнения.

Волновое уравнение, записываемое как уравнение матфизики, "из физических соображений", может иметь члены затухания (они дают мнимую часть $\omega$), может иметь нелинейности, как уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ, KdV)

$$\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}+\varphi\dfrac{\partial\varphi}{\partial x}+\dfrac{\partial^3\varphi}{\partial x^3}=0.$$

Уравнение КдФ знаменито тем, что по нему бегут солитоны - волны, не являющиеся обычными синусоидами или их суммами. Кроме КдФ, солитоны бывают и в других нелинейных уравнениях, из которых наиболее известны уравнения синус-Гордона (sine-Gordon), нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ).

Волновыми уравнениями описываются: квазичастицы в кристаллах (много веток, эмпирические законы дисперсии), колебания упругих стержней и оболочек (уравнения 4-го порядка), волны на воде (два конкурирующих закона дисперсии), или просто бегущая волна на струе воды (могущая "стоять неподвижно").

Многие явления тоже происходят "волнообразно", но требуют уравнений более сложных, чем волновые. Это, например, волны диффузии и теплопередачи на микроскопическом уровне (кинетические уравнения), ударные волны.

Pulseofmalstrem в сообщении #1098821 писал(а):

обычно каждый учебник начинается с колебаний струны и волнового уравнения с оператором Даламбера. Ну там метод Фурье, формула Пуассона и понеслась. Потом бывают разные телеграфные уравнения и обобщенное волновое, а дальше молчок.

В общем, для всех волновых уравнений базовыми являются три подхода, которые надо понимать и применять соответственно.

1. Зададим "хорошее" решение, например, в виде бегущей волны. Такая волна бежит с постоянной скоростью, то есть её можно записать как функцию $\varphi(ct-x).$ Для такой волны важную роль играют линии $ct-x=\mathrm{const},$ которые называются характеристиками уравнения (оператора), именно вдоль них волна и бежит. Метод Д'Аламбера или Римана.

2. Зададим другое "хорошее" решение, в виде стоячей волны. Это часто бывает удобно, если мы имеем граничные условия, и резонатор ограниченного объёма. Тогда мы разделяем переменные в исходном уравнении. По пространственным координатам у нас получается стоячая волна некоторой формы, а по времени - гармоническое колебание. Это называется собственными колебаниями, или модами резонатора. Метод Фурье.

3. Зададим начальное возмущение в виде острого пика, или "пинка", в одной точке - дельта-функцию. И посмотрим, как волна побежит распространяться от этого возмущения. Изучив такую волну, мы можем дальше проинтегрировать её с произвольной функцией начального возмущения. Метод функций Грина, или фундаментальное решение.

Кроме того, довольно общими являются подходы малых возмущений и последовательных приближений. Они позволяют анализировать (хоть и не полно) ситуации даже со сложными уравнениями, например, с нелинейными.

Ну и в общем, дальше можно идти по просторам теорфизики и матфизики куда захотите. Если вас интересуют книги, выходящие за рамки базовых учебников, то рекомендую каталоги Колхоза / Либмехмата по разделам:

Математика / Матфизика
Физика / Классическая физика / Классические поля
Физика / Колебания и волны
Физика / Квантовая теория поля / Теория калибровочных полей
Физика / Динамические системы
Физика / Нелинейная динамика, Хаос

(скачивать выбранные книги, соответственно, с Либгена).

Например, можно начать с Морса-Фешбаха, Рихтмайера, Рида-Саймона. Или взять
Рубаков. Классические калибровочные поля.