Как представлять себе волновую функцию.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток!
В процессе изучения квантовой механике по ЛЛ-3 меня все не покидает надежда на то, что все-таки как-то можно представить себе волновую функцию, вообразить ее визуализацию или хотя бы интуитивно прочувствовать. Наподобие того, как мы не можем вообразить себе n-мерное пространство, но все же геометрическая интерпретация функций многих переменных греет наше сердце и навевает правильные мысли. Нет ли какой-нибудь возможности для подобного представление волновой функции, потому как операторы и коммутаторы - это все, конечно, здорово и правильно, но порой хочется чего-то болееощутимого что-ли.

[arseniiv]

А что со старой доброй комплекснозначной функцией на $\mathbb R^n$? Или у вас сразу начались операторы на гильбертовом пространстве? Тогда можно вспомнить, что все гильбертовы пространства одной размерности над одним и тем же полем изоморфны — выбираете любое по вкусу.

[Pulseofmalstrem]

arseniiv
Не, я читаю ЛЛ-3 и там нет ни слова о пространствах Гильберта (пока, что и хорошо с педагогической точки зрения). Меня не устравивает образ комплекснозначной функции, определенной на конфигурационном прострастве, то меня смущает здесь только то, что этот образ чисто математический. То есть он прекрасно описывает волновую функцию, однако он совершенно некудышен для физических представлений.
Я извиняюсь, что в названии темы я немножко не верно выразил свою мысль. Мне хотелось отыскать именно физическое представление для квантовой частицы, которая описывается волновой функцией. Ясно же, что электрон - это вовсе не комплекснозначная фукнция на $\mathbb{R}^n$, а некий странный физический объект, с которым я пока не могу связать никакого внятного образа, что довольно напрягает.

[arseniiv]

Pulseofmalstrem в сообщении #1098487 писал(а):

пока, что и хорошо с педагогической точки зрения

А операторы на чём тогда?

Pulseofmalstrem в сообщении #1098487 писал(а):

Меня не устравивает образ комплекснозначной функции, определенной на конфигурационном прострастве, то меня смущает здесь только то, что этот образ чисто математический. То есть он прекрасно описывает волновую функцию, однако он совершенно некудышен для физических представлений.

Тогда и стоит познакомиться с аксиоматически определённым гильбертовым пространством. Требования к нему вполне физически прозрачны (кажется). После этого какие-то конкретные гильбертовы пространства уже просто не должны смущать из-за изоморфизма — одна математическая штука не может быть худшей моделью чего-то, чем изоморфная ей другая.

Pulseofmalstrem в сообщении #1098487 писал(а):

Ясно же, что электрон - это вовсе не комплекснозначная фукнция на $\mathbb{R}^n$, а некий странный физический объект, с которым я пока не могу связать никакого внятного образа, что довольно напрягает.

Неясно. Квантовая механика не выводится из классической — с чего вы решили, что она может быть понята только взятыми из классической представлениями? А если не решили, функция на $\mathbb R$ ничем не хуже остальных. (Разве что в совсем другой плоскости — например, тем, что годится только в нерелятивистском случае.)

[Pulseofmalstrem]

arseniiv
Ну пока операторы просто действуют на функции. С другой стороны, если вспомнить что функции как раз и образуют то самое гильбертово пространство, то все встанет на свои места.

Я думаю, что некоторый дискамфорт вызван тем, что я пока нахожусь под впечатлением бытовых представлений (я думаю это естественно), ведь до сих пор даже в той же теории поля и СТО благополучно удавалось представлять себе образы тех объектов, о которых там идет речь. И потому я оказался совершенно неготов встать на точку зрения, что физические объекты удаеться представить только через призму математики, впрочем это не критично, это все эмоции (хотя для меня эмоции даже в той же математики играют очень важную роль, то есть мне скорее даже важнее прочувствовать теорию, чем формально освоить разные приемы, это как разница между знанием текста песни и нот и умением красиво спеть).

P.S. Я верно понял, что можно отождествить электрон и его волновую функцию? Но как тогда быть с процессом измерения, когда электрон обнаруживаеться в одном строго определенном месте?

Возможно, стоит почитать функан по Хелемскому, но тогда надо ознакомиться с теорией меры поплотнее, с другой стороны я пока не испытываю сложностей с мат. аппаратом при чтении ЛЛ. Эх, вечная дилемма между физикой и математикой, у меня не хватает времени на вас обоих!

[arseniiv]

Pulseofmalstrem в сообщении #1098493 писал(а):

Я думаю, что некоторый дискамфорт вызван тем, что я пока нахожусь под впечатлением бытовых представлений (я думаю это естественно), ведь до сих пор даже в той же теории поля и СТО благополучно удавалось представлять себе образы тех объектов, о которых там идет речь.

И тензорнозначное классическое электромагнитное поле, имеющее значение в каждом событии пространства-времени, выглядит проще всего лишь одного (для простоты) комплексного числа (по всему пространству-времени, но разница-то всё равно есть: там сколько компонент и тут)?

Pulseofmalstrem в сообщении #1098493 писал(а):

Я верно понял, что можно отождествить электрон и его волновую функцию?

Ага.

Pulseofmalstrem в сообщении #1098493 писал(а):

Но как тогда быть с процессом измерения, когда электрон обнаруживаеться в одном строго определенном месте?

Во-первых, это только в случае абсолютно точного измерения координаты, чего мы делать не умеем. Так что сразу после измерения просто волновая функция оказывается занулённой за пределами некоторой области.

Впрочем, у меня как-то неконструктивно получается, да и пора.

[Pulseofmalstrem]

Цитата:

И тензорнозначное классическое электромагнитное поле, имеющее значение в каждом событии пространства-времени, выглядит проще всего лишь одного (для простоты) комплексного числа (по всему пространству-времени, но разница-то всё равно есть: там сколько компонент и тут)?

Нет, я всегда смотрел на это так, что есть некоторый материальный объект поле, который мы можем описать с помощью тензора или комплексного числа (при этом чисто психологический образ оставляет за кадром всю математику и дает понятие лишь как о некоторой материи)

Более удачный и наглядный наглядный будет с водой. Когда я думаю о воде, я буду представлять себе жидкость, если я вдруг захочу описать ее я начну думать о поле скоростей, о скалярном поле плотности воды (вообще говоря изменяющейся от точки к точке), но я никогда не сталкивался с необходимостью отождествить воду с полем скоростей и плотности.

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #1098487 писал(а):

Меня не устравивает образ комплекснозначной функции, определенной на конфигурационном прострастве, то меня смущает здесь только то, что этот образ чисто математический.

А вы вспомните, что для одной точечной частицы конфигурационное пространство - это и есть наше обычное трёхмерное ("физическое") пространство.

Это вас сильно успокоит. По крайней мере, временно.

Проблемы начнутся для двух частиц, для которых конфигурационное пространство шестимерно. Ну, я пользуюсь таким приёмом: представляю себе две частицы в одномерном физическом пространстве, и получаю двумерное конфигурационное, которое можно себе представить. Многие понимательные задачи для двух частиц удаётся понять в таком виде. А больше и не надо: три частицы уже подобны двум, и так далее.

Pulseofmalstrem в сообщении #1098476 писал(а):

Нет ли какой-нибудь возможности для подобного представление волновой функции, потому как операторы и коммутаторы - это все, конечно, здорово и правильно, но порой хочется чего-то болееощутимого что-ли.

Наоборот, функция на конфигурационном пространстве - это должно стать для вас ступенькой, трамплином, чтобы понять язык операторов и коммутаторов.

Другой трамплин в ту же идею - это начинать не с координатного представления, а с какого-нибудь дискретного, например, с энергетического. Это подход, выбранный Фейнманом в ФЛФ-8,9. Полезно почитывать параллельно одно и другое, пока оно не "сомкнётся".

Pulseofmalstrem в сообщении #1098487 писал(а):

Ясно же, что электрон - это вовсе не комплекснозначная фукнция на $\mathbb{R}^n$

Да ну вас! Ясно же, что электрон - это именно комплекснозначная функция на $\mathbb{R}^3$! :-)

-- 11.02.2016 15:15:32 --

arseniiv в сообщении #1098490 писал(а):

Неясно. Квантовая механика не выводится из классической

На самом деле, выводится, или "почти выводится", и здесь очень полезно почитать про фейнмановский интеграл по траекториям.

Но педагогически лучше сначала прочитать одну из классических версий: "волновую механику" или "матричную механику" - а лучше даже обе - а только потом фейнмановский интеграл по траекториям.

Тогда в уму наступит полное смыкание мозаики.

-- 11.02.2016 15:23:18 --

Pulseofmalstrem в сообщении #1098493 писал(а):

Ну пока операторы просто действуют на функции.

Ну вот и научитесь этому языку, спокойно, не торопясь, по кирпичику. Без этого вы не поймёте КМ.

Но чтобы вас немного успокоить и подбодрить, есть в ЛЛ-3 глава 7 "Квазиклассический случай", которая даёт сопоставление квантовых явлений и классических механических частиц в пределе $\hbar\to 0$ (теоретически это формальный предел над математическим аппаратом теории, "принцип соответствия", а экспериментально он соответствует таким явлениям, в которых $\hbar$ оказывается пренебрежимо малой величиной по сравнению с другими физическими величинами опыта, и в таких явлениях классическая механика работает, и квантовая и классическая механика, хоть и описывают явления по-разному, но приводят к одним и тем же ответам и результатам, выражающим суть того, что будет наблюдаться, например, приборами). В этом сопоставлении вы можете увидеть, как "подброшенная" квантовая частица начинает падать вниз, как квантовые частицы сталкиваются, подобно бильярдным шарам, и разлетаются с сохранением импульса, как частицы отскакивают от стенки, и так далее. Всё подобно классической механике. И тогда вы увидите, как старые знакомые понятия классической механики сопоставляются новым понятиям квантовой механики - пусть и взятым не в полном случае, а в пределе.

Вы сейчас, видимо, только в самом начале ЛЛ-3, в пределах первых трёх глав... Ну пусть 7-я глава вам светит как маяк в конце туннеля :-)

-- 11.02.2016 15:31:42 --

Pulseofmalstrem в сообщении #1098493 писал(а):

P.S. Я верно понял, что можно отождествить электрон и его волновую функцию? Но как тогда быть с процессом измерения, когда электрон обнаруживаеться в одном строго определенном месте?

Пока вы не измеряете электрон - отождествляйте. А измерение вообще отложите в сторонку. Огромное большинство квантовых явлений происходит само по себе, без измерения, и прежде всего надо освоить этот мир. А измерения... тут, конечно, у вас не наступит полной ясности никогда, но привыкнуть к какому-то упрощённому пониманию можно.

Pulseofmalstrem в сообщении #1098493 писал(а):

Возможно, стоит почитать функан по Хелемскому

Это вас сильно отвлечёт с главного пути. Нет, для чтения КМ лучше всего пропускать математические детали мимо, и "обращаться с дельта-функциями как повар с картошкой". На ваш ум и так сваливается достаточный груз. Потом, если захотите, можете копнуть глубже - лучше через несколько лет.

Pulseofmalstrem в сообщении #1098514 писал(а):

Нет, я всегда смотрел на это так, что есть некоторый материальный объект поле, который мы можем описать с помощью тензора или комплексного числа (при этом чисто психологический образ оставляет за кадром всю математику и дает понятие лишь как о некоторой материи)

Ну да. Здесь есть материальный объект "квантовый электрон", который мы лучше всего можем описать с помощью комплекснозначной функции на $\mathbb{R}^3.$ Настолько хорошо, что пока до сих пор никакие эксперименты не нашли никаких отклонений электрона от такой функции. То есть, это в каком-то смысле идеальный способ описания электрона.

С водой вы всегда имеете что-то, что упускаете из виду. То прозрачность воды, то её температуру, то её атомарную структуру. Но вы в конечном счёте можете спуститься на уровень, скажем, задания положения каждого атома в воде. Это будет более мощное и громоздкое описание, но оно вам даст по крайней мере всё, что вы имели на предыдущих уровнях. В физике всегда есть такой уровень "наиболее полного описания" - и на него можно спуститься (ну, в прошлые исторические эпохи он не всегда был). И для электрона это - волновая функция.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1098628 писал(а):

На самом деле, выводится, или "почти выводится", и здесь очень полезно почитать про фейнмановский интеграл по траекториям.

Это если мы вздумали приписать всем траекториям фазы, ещё и почему-то линейно зависящие от действия. Классическая механика этого делать не обязывает(?) Мы могли бы, например, что-то другое линейно зависящее от действия складывать. Или не от действия, а другой функции траектории.

[Munin]

Это просто естественное объяснение, почему классическая механика вообще есть. Очень красивое, если посмотреть рядом на геометрическую и волновую оптику.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Так против вывода в обратную сторону и его возможной красоты я ничего сказать и не хотел.

[Pulseofmalstrem]

Последний вопрос:
Как понимать постоянные фразы о волновом уравнении, если волновое уравнение из классической физики это что-то вроде такого:
$\triangle \varphi = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}$
А уравнение Шредингера, оно немного по другому записывается:
$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi $
Оно комплексное, в нем оператор гамильтона и в нем первая частная производная по времени, сказать, честно но когда я впервые увидел уравнение Шредингера оно мне скорее напомнило уравнение теплопроводности, чем волновое уравнение. Конечно, сейчас, можно с ним немного поработать. Пусть частица у нас свободная, тогда ее оператор Гамильтона будет таков:
$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2$
Тогда уравнение Шредингера перепишется в такой форме:
$ \frac{\partial \psi}{\partial t} = i \frac{\hbar^2}{2m} \triangle \psi $
Здесь есть эта комплексная единица, которая конечно существенно изменяет суть вещей, так что ни разу не уравнение теплопроводности и мы немкного приблизились к облику волнового уравнение, но все какие есть основания называть это старым добрым волновым уравнением?

[Alex-Yu]

Pulseofmalstrem в сообщении #1098819 писал(а):

Как понимать постоянные фразы о волновом уравнении, если волновое уравнение из классической физики это что-то вроде такого:
$\triangle \varphi = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}$
А уравнение Шредингера, оно немного по другому записывается:
$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi $

Волновые уравнения бывают разные. Бывает волновое уравнение д'Аламбера (первое в Вашей записи), бывают и другие (их очень много разных, даже бесконечно много разных).

-- Пт фев 12, 2016 15:28:21 --

Pulseofmalstrem в сообщении #1098819 писал(а):

но все какие есть основания называть это старым добрым волновым уравнением?

Эти слова освящены традицией. И ровным счетом ничего более, никакого глубокого смысла в них нет.

[Pulseofmalstrem]

Alex-Yu
Интересно! Когда я изучал волновые уравнения, то обычно каждый учебник начинается с колебаний струны и волнового уравнения с оператором Даламбера. Ну там метод Фурье, формула Пуассона и понеслась. Потом бывают разные телеграфные уравнения и обобщенное волновое, а дальше молчок.

P.S. Я читал именно вводные учебники в уравнения математической физики, а не общий учебник по всем уравнениям в частных производных. Поскльку сейчас мне было критично уметь решать именно стандартные уравнения.

[Alex-Yu]

Pulseofmalstrem в сообщении #1098821 писал(а):

Когда я изучал волновые уравнения, то обычно каждый учебник начинается с колебаний струны и волнового уравнения с оператором Даламбера.

Ну, учебник... Учебник --- это для детей. Или, по меньшей мере, для "детей" в кавычках. А волновые уравнения еще и нелинейные бывают, например Кортевега-деФриза