Не очень ясно, что значит "из верхней полуплоскости" при
![$\xi = 1,-1$ $\xi = 1,-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/f/4cf31ba970dafff457b3efd88f62a71482.png)
, например
С
![$-1$ $-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/1/e11a8cfcf953c683196d7a48677b227782.png)
проблем нет, корни
![$\pm i$ $\pm i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436c513ec24898bdaee586e47e6dea3182.png)
и в верхней полуплоскости только один. А для
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
верно заметили. Тогда положим сразу по определению
![$\sqrt[2^n] 1 = 1$ $\sqrt[2^n] 1 = 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8b17ff044e7e5e4a871c7c62ecde69b82.png)
.
Ну а так-то у нас аргумент по формуле Муавра на каждой итерации кроме, быть может, первой, вдвое уменьшается, а модуль остаётся неизменным.
Вообще, я пытаюсь аксиоматически определить тригонометрические функции
![$\cos$ $\cos$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/d/ecd586bc15e080ad7ba5eaa83fcb586482.png)
и
![$\sin$ $\sin$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/4/e84422828a1c606120b147885cb4f2ac82.png)
как компоненты непрерывного нетривиального гомоморфизма из группы
![$(R,+)$ $(R,+)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/d/9ad8920bbf05c10c30b27392beba7a8082.png)
в ортогональную группу вращений
![$SO(2)$ $SO(2)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/8/f68d4a33240cf034ecb36bee2bf0fdd282.png)
или, что то же самое, в группу комплексных чисел с модулем
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
по умножению. Поэтому нельзя опираться на формулу Муавра и тригонометрические функции.