Фермионы и бозоны: подробности

[WolfAlone]

Я несколько запутался. Фермионы-бозоны задаются как частицы со спином полуцелым-целым или по статистике, которая определяется по симметричности-антисимметричности общей волновой функции состояния нескольких таких частиц? С другой стороны, пусть я имею 2-мерный гармонический осциллятор с гамильтонианом $\hat H=\partial_{xx}+\partial_{yy}+x^2+y^2$. Тут нет никаких спиновых переменных. Но я ведь могу строить собственные 2-частичные состояния симметричные и антисимметричные. Спин в гамильтониане отсутствует, а симметричные-антисимметричные решения есть. В чем мое недопонимание? Другой родственный вопрос. Возьму собственное состояние, соответствующее $E=3+\frac12+\frac12$. Я могу построить его из четырех 1-частичных $\psi_k(x)$. Например

$$ \Psi^-(x,y)=[\psi_0(x)\psi_3(y)-\psi_3(x)\psi_0(y)] + [\psi_1(x)\psi_2(y)-\psi_2(x)\psi_1(y)],\qquad E= 0+3=3+0=1+2 = 2+1 $$

Здесь $\psi_k(x)$ - это решение $-(\partial_{xx}+x^2)\psi_k(x) =E_k\psi_k(x)$ при $E_k=k+\frac12$. Это $\Psi$-решение антисимметрично, но не имеет вид детерминанта Слеттера, который я вижу везде в учебниках. В чем загвоздка? Это решение имеет вид суммы двух таких детерминантов. Не понятно, в чем дело? Далее в учебниках я вроде вижу тексты про схемы Юнга, но не пойму связь с этим примером. Еще. Если в общем, я правильно понимаю, что если взять нечетное число фермионов, например, свободных или несвободных, то получится одно "большое" состояние, которое должно быть антисимметричной волновой функцией? Один "большой фермион"? Если четное число таких же, то получится симметричное состояние, один большой "бозон"? А если бозоны, то любое число, свободные или нет, то все равно получится "один большой бозон"? Бозе-конденсат? Да, ну а если я рассмотрю опять мой пример выше. Там нет спинов, вроде как есть только бозоны, но можно построить антисимметричное большое состояние. Объясните пжлст, в чем недопонимание. И где можно про все это ПОПОДРОБНЕЕ почитать? Заранее спасибо.

PS. Квантовая статистика Ферми - это статистика c функцией распределения $\varrho(x_1,...,x_N)$, которая приходит от одной "большой" $\Psi$-функции, зависящей от ВСЕХ (много-много) частиц в системе? То есть $\Psi(x_1,x_2, ...,x_N)\to\text{функция распределения } \varrho(x_1,...,x_N)=|\Psi(x_1,x_2, ...,x_N)|^2$? Аналогично, вопрос про бозонную статистику.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Фермионы-бозоны задаются как частицы со спином полуцелым-целым или по статистике, которая определяется по симметричности-антисимметричности общей волновой функции состояния нескольких таких частиц?

И то и другое. Это эквивалентные свойства, по теореме о связи спина со статистикой (теорема Паули).

Правда, эта теорема верна, строго говоря, только в трёхмерном пространстве и с учётом релятивистских явлений, но в физике используется более широко в том смысле, что эти два понятия обычно отождествляются и в разных упрощённых моделях. Можно рассматривать теоретически и отклонения от этой теоремы, но это обычно оговаривается отдельно, без использования слов "фермион" и "бозон".

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Но я ведь могу строить собственные 2-частичные состояния симметричные и антисимметричные.

Стоп, 2-частичные в каком смысле? У вас рассматривается механический осциллятор, и вы запускаете в него две невзаимодействующие частицы, или вы берёте полевой осциллятор теории поля, и действуете на него два раза оператором рождения?

[WolfAlone]

Спасибо. Под 2-частичным я имею в виду, что пусть некий гамильтониан для 2-х частиц. Например, тот, что я написал выше. Начинаем строить теорию для него. Поскольку 1-мерные гамильтонианы рождаю полные наборы свои CC, то я просто тупо строю из них, через тензорное произведение, состояния для моих двух частиц. Занимаюсь пока собственными состояниями. И тех и других. Полевых теорий я здесь совсем не трогаю. Я не врублюсь, почему всюду пишут ОДИН детерминант, в то время как я в упор вижу в своем примере два.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Это $\Psi$-решение антисимметрично, но не имеет вид детерминанта Слеттера, который я вижу везде в учебниках. В чем загвоздка? Это решение имеет вид суммы двух таких детерминантов. Не понятно, в чем дело?

Тут разница такая же, как между обычным двухчастичным состоянием, разложимым в одночастичные, и неразложимым (сцепленным, запутанным). Разложимые образуют базис в пространстве, в котором основную долю занимают неразложимые. Также и слэтеровские состояния образуют базис в антисимметризованных.

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Если в общем, я правильно понимаю, что если взять нечетное число фермионов, например, свободных или несвободных, то получится одно "большое" состояние, которое должно быть антисимметричной волновой функцией? Один "большой фермион"? Если четное число таких же, то получится симметричное состояние, один большой "бозон"? А если бозоны, то любое число, свободные или нет, то все равно получится "один большой бозон"?

Да, в общем, "большой фермион" или "большой бозон". Это всё вычисляется по правилам сложения спинов (ЛЛ-3 гл. 8). Но вот каким будет это состояние - антисимметричное или нет - это вычисляется с учётом спиновых степеней свободы. Например, для двух фермионов (возьмём спин ${}^1\!/_2$) может быть либо состояние, симметричное по спинам и антисимметричное по координатам, либо состояние, антисимметричное по спинам и симметричное по координатам.

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Бозе-конденсат?

Нет, бозе-конденсат - это ещё одно условие надо наложить: что все бозоны до симметризации находились в одном и том же состоянии (и координатном, и спиновом).

[WolfAlone]

Ясности пока нет. Все-таки, состояние, которое есть строго некий детерминант Слеттера - это некоторое конкретное антисимметричное состояние? Или ЛЮБОЙ "большой фермион" есть некий детерминант? Смотрю на мой пример и не врубаюсь.

[Munin]

Посмотрите на более простые примеры: запутанные и незапутанные состояния. Безо всякой антисимметризации. Например, две частицы разной природы: протон и электрон.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

С другой стороны, пусть я имею 2-мерный гармонический осциллятор с гамильтонианом $\hat H=\partial_{xx}+\partial_{yy}+x^2+y^2$.

Это ОДНОЧАСТИЧНЫЙ гамильтониан. Таких ДВУХЧАСТИЧНЫХ не бывает. Впрочем, это смотря как интерпретировать буквы $x$ и $y$. Но судя по словам: "пусть я имею 2-мерный гармонический осциллятор", то о двухчастичном гамильтониане ЗДЕСЬ речь никак идти не может.


Вот если интерпретировать буквы как координаты ДВУХ частиц, но ВДОЛЬ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ пространственной оси, то получится двухчастичный гамильтониан (для двух одномерных, невзаимодействующих частиц с нулевым спином). Но тогда лучше и обозначать как $x_1$ и $x_2$, а то выглядит как будто два разных пространственных направления.


-- Пт фев 12, 2016 14:43:07 --

WolfAlone в сообщении #1098664 писал(а):

Ясности пока нет. Все-таки, состояние, которое есть строго некий детерминант Слеттера - это некоторое конкретное антисимметричное состояние?

Связь спина со статистикой --- чисто релятивисткое явление. В рамках нерелятивисткой квантовой механики остается только некое правило, никак из этой нерелятивисткой КМ не вытекающее: для частиц с целым спином надо выкинуть (запретить) асимметричные состояния, а для частиц с полуцелым --- симметричные.

-- Пт фев 12, 2016 14:49:50 --

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Это $\Psi$-решение антисимметрично, но не имеет вид детерминанта Слеттера,

Асимметричная (относительно перестановок частиц) функция --- это совсем не обязательно детерминант Слэтера. ВФ в виде такого детерминанта не является точным решением, это --- приближение (Хартри-Фока).

-- Пт фев 12, 2016 15:07:21 --

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Это решение имеет вид суммы двух таких детерминантов.

В квантовой химии представление ВФ в таком виде (лин. комбинация детерминантов) называетеся метод конфигурационного взаимодействия, если правильно помню (название, но не сам факт, что так представляют). Не обязательно двух, детерминантов, может быть и больше.

-- Пт фев 12, 2016 15:10:44 --

WolfAlone в сообщении #1098649 писал(а):

Если в общем, я правильно понимаю, что если взять нечетное число фермионов, например, свободных или несвободных, то получится одно "большое" состояние, которое должно быть антисимметричной волновой функцией?

Асимметричной относительно чего???? Вот если устроете хотябы две такие "композитные", "большие" частицы, то можно будет говорить о симметрии/антисимметрии. А пока "большая" частица одна, само слово неприменимо. Примерно как вопрос "какого вкуса" применительно к "фиолетовый"

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1098817 писал(а):

Это ОДНОЧАСТИЧНЫЙ гамильтониан. Таких ДВУХЧАСТИЧНЫХ не бывает. Впрочем, это смотря как интерпретировать буквы $x$ и $y$. Но судя по словам: "пусть я имею 2-мерный гармонический осциллятор", то о двухчастичном гамильтониане ЗДЕСЬ речь никак идти не может.

Как я понял, здесь просто 2-мерный 1-частичный и 1-мерный 2-частичный отождествляются. В 2-частичной интерпретации пишется

$$\hat{H}=\partial^2_{x_1x_1}+\partial^2_{x_2x_2}+x_1^2+x_2^2=\hat{H}_1+\hat{H}_2$$

соответственно. Отождествление удобно тем, что мы сразу понимаем состояния, и наглядно их можем себе представить.

Правда, при этом частицы невзаимодействующие (между собой, нет слагаемого $\hat{H}_{12}$), так что это не слишком интересная физическая система. Можно её загонять во всякие запутанные состояния, и всего-то развлечений.

[Red_Herring]

Следует помнить, что у частицы со спином $l$ есть еще спиновая переменная $s$ которая может принимать $2l+1$ различных значений. Поэтому одночастичная функция будет $\psi(\mathbf{x},s)$.

Гамильтониан может зависеть от $s$. Но даже если гамильтониан не зависит от неё то в многочастичной задаче (особенно для фермионов) она очень важна поскольку $N$-частичная функция будет $\Psi(\mathbf{x}}_1,s_1;\ldots;\mathbf{x}_N,s_N)$ и она должнабыть симметричной или антисимметричной при перестановке $(\mathbf{x}_j,s_j)\leftrightarrow (\mathbf{x}_k,s_k)$ при любых $j\ne k$.

[WolfAlone]

Хорошо. Спасибо еще раз. Давайте попробуем по частям. Если бы мы сразу включали в число переменных спиновые, то вопроса почти не было бы. Пусть у нас, как выше нет никаких спиновых переменных, но есть несколько координатных. То есть, например, нет никаких магнитных полей и мы никак не знаем, что такое спины. Пусть у нас даже несколько осцилляторов как выше. В том смысле, что не две, а больше $x$-переменных. Пусть даже гамильтониан не с разделяющимися переменными. То есть частицы не свободны. Я формально могу начать строить решение его задачи на собств значения из одночастичных подзадач. Построил, получил спектры для подзадач и сложил их собств значения, получив собств значения для большого гамильтониана. Пусть этот "большой спектр" вырожден. Наподобие того, что я написал в пеовом сообщении. То есть типа 3+0=0+3=1+2=2+1 и т.д. таких комбинаций может быть много или не много. Пусть они, например, есть. Я теперь строю симметричные по перестановкам частиц и антисимметричные линейные комбинации. Построил. Еще раз, спиновых пременных нет и в помине, но есть антимимметричные собственн состояния. Если гамильтониан был с взаимодействием, то, разумеется, все эти состояния не есть точные решения, но базис они образуют. Взял их как базис и построил по Хартри-Фоку апроксимации точных состояний. Имеем в итоге. Почти точное антисимметричные решения, никаких спиновых степеней свободы. ЛЛ кажется называет это обменным взаимодействием. Ясно, видимо, точно следующее. Имею всякие антисимметричные решения, нет спинов, но решение, то есть $\Psi(x_1,x_2...)$ порождает статистику Ферми-Дирака. Это так? Причем решения не обязательно имеют вид точных детерминантов Слеттера. Как такое называть, понимать? Когда здесь мне проясните, я потом распрошу про ситуации со спиновыми степенями свободы.

-- 12.02.2016, 20:00 --

Да, Alex-Yu, кажется близко к тому, что я хочу. Про конфигурационное взаимодействие, если такой термин действительно есть, я не слыхал. То есть, можно ли понимать так. Да, есть некое правило, формальное, про антисимметричность решения. Хотя спинов там нет, но ничто не мешает называть его решение, порождающее статистику Ферми-Дирака? Так? Детерминантного представления нет, но все, что требуется для "правила Ферми-Дирака" есть. Так? Кстати, посмотрел ЛЛ п.62. Там начинает "пусть без спина", обычный Шредингер, а потом "далее, пусть со спином". Не пойму эту кашу объяснений.

-- 12.02.2016, 20:16 --

Munin в сообщении #1098674 писал(а):

Посмотрите на более простые примеры: запутанные и незапутанные состояния. Безо всякой антисимметризации. Например, две частицы разной природы: протон и электрон.

Честно говоря, я тут не понял. Я правильно понимю, что такое состояние пары нетождественных частиц можно рассматривать, с одной стороны, как два фермиона, нетождественных. Но есть или нет здесь спин? А с другой стороны, если перейти с систему центра масс, то получится одна эффективная частица безо всяких спиновых степеней свободы? Как тут поаккуратнее высказаться? Чтобы не двусмысленно.

[Red_Herring]

Если Вы проигнорируете спин и начнёте строить собственные функции… Ну давайте для простоты посмотрим просто гармонический осциллятор и 2 частицы (фермиона). Что будет нижним собственным значением? $2$. Потому что с.ф. будет $\Psi(x_1,x_2)=\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)-\phi_1(x_2)\phi_2(x_1)$.

А на самом деле? $1$. Потому что с.ф. будет $\Psi(x_1,s_1:x_2,s_2)=\phi_1(x_1)\phi_1(x_2)+\phi_1(x_2)\phi_1(x_1)$., т.к. одночастичные с.ф. будут $\psi_1(x,s): \psi_1(x,1/2)=\phi_1(x), \psi_1(x,-1/2)=0$ и
$\psi_2(x,s): \psi_2(x,1/2)=0, \psi_1(x,-1/2)=\phi_1(x)$.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1098907 писал(а):

Как тут поаккуратнее высказаться? Чтобы не двусмысленно.

А очень просто. Если два фермиона не тождественны, то никакого принципа асимметрии (как и симметрии) вообще не существует. Гамильтониан, вообще говоря, меняется при перестановке ТАКИХ частиц (обратите внимание, что для тождественных частиц он заведомо не меняется, никогда), так что асимметричное (как и симметричное) состояние не будет собственной функцией этого гамильтониана. Собственное состояние в общем случае будет ни симметрично, ни асимметрично. А какое получится из гамильтониана.

-- Сб фев 13, 2016 01:45:49 --

WolfAlone в сообщении #1098907 писал(а):

Детерминантного представления нет,

Ну вот что означают эти слова, в каком смысле нет? На самом деле детерминант заведомо асимметричен. Именно это его свойство и используется для того, чтобы асимметричную функцию представить как линейную комбинацию детерминантов. Если повезет (а это часто бывает) то окажется достаточно, с разумной сетепенью приближения, одного детерминанта. Для взаимодействующих (!) фермионов детерминант никогда не является точным собственным состоянием. Но часто оказывается довольно близким к точному: бОльшая часть взаимодействия при этом описывается правильно.

Т.е. состояние, при котором волновая функция --- детерминант, --- это некое состояние (и в ЭТОМ смысле детерминантное представление есть), но, обычно, это не есть (точное) собственное состояние гамильтониана. Исключение --- невзаимодействующие тождественные частицы (физически как-то не интересно), в этом особом (!) случае детерминант есть собственное состояние гамильтониана.


Попробую еще обяснить так. Если частицы (пусть две для простоты, но можно и больше) тождественны, то при перестановке их местами ничего не меняется, в т.ч. не меняется энергия. Поэтому все собственные состояния гамильтониана можно выбрать симметричными (относительно перестановки) и асимметричными. Выбор, естественно, подразумевает, что есть вырождение уровней энергии, иначе выбирать просто нечего: уж какие состояния получатся при решении уравнения, такие и получатся (но они обязательно получатся симметричными или асимметричными). Так вот, для частиц с полуцелым спином все симметричные решения надо выкинуть, таких физически не бывает. Почему? В рамках нерелятивисткой КМ не известно почему (это выясняется лишь только в КТП). Для частиц с целым спином (в т.ч. нулевым) выкинуть нужно наоборот асимметричные решения.

Все очень просто: половину решений уравнения Шредингера нужно выкинуть, они нефизические. Решения есть (например симметричные для фермионов), а физически таких состояний нет.

Если частицы различимы (например протон и электрон), то ничего выкидывать не надо, ВСЕ решения уравнения Шредингера фзические. При этом эти решения вполне могут быть "кривые": не симметричные и не асимметричные.

А уж как Вы будете представлять эти решения, детерминантами или еще как.... Это уже дело десятое. Но детерминанты удобны тем, что они заведомо асимметричны. Т.е. это только некий математический инструмент, и все.

А вообще эти слэтеровские детерминанты в самом начале теории многочастичных состояний.... Помню, сам мучался когда-то давно. И причем здесь детерминанты... Вспомогательный, совершенно ненужный для общей теории инструмент и ничего более. Но вот кочует из учебника в учебник.... Причем не где-то там ближе к концу соответствующей главы (это было бы разумно: про приближение Хартри-Фока сказать нужно), а в самом начале.

[WolfAlone]

Пардон. Все-таки. Я хочу сначала попытаться понять на чисто формальном языке. Строим модельную физику частиц и их конгломератов без спиновых степеней свободы. То есть гамильтонианы без магнитных полей, чистые многочастичные уравнения Шредингера. Это возможно? Или уже тут где-то неявно спрятаны спины? Допустим пусть нет. Тогда я, зная, что в природе встречаются только то, что мы называем чисто симметричные или чисто антисимметричные состояния, я определяю их по этому свойству. Системы нетождественных частиц сейчас не трогаем. Вот теперь вопрос. Могу я в рамках такого "тупого" подхода получить непротиворечивую физику-модель? Вроде как да. Изучаю спектры, решаю шредингеров, строю состояния по хартри-фоку и, видимо, все то, что обычно именуется статистиками бозе или ферми. ?? То есть, получаю ли я в таком утрированном подходе наблюдаемые статистики,но оперируя пока еще бесспиновыми шредингерами? Или уже и именно такая урезанная схема имеет изъян-противоречие? Внутреннее математическое. То есть, по-прежнему, магниты я не включаю и тонкие расщепления спектров не вижу. Но какие-то спектры, конечно, наблюдаю и описываю. Вот если бы уже такая бесспиновая математика имела бы внутренний изъян, то наверно возникает необходимость пересмотреть опоеделение "квантовая частица" и открывать и подключать спиноры и перестраивать теорию. Грубо говоря, обменное взаимодействие, типа ЛЛ, можно ли смоделировать, зафиксировать как квантовый эффект, но без введения спиновых переменных? Я подозреваю, что да, но пока мутно в голове на этот счет. Если бы я с самого начала писал теорию со спиновыми переменными, то вопроса в сущности не было бы. Частицы и их тождественность, конечно, надо определять по перестановкам всех известных и коммутирующих наблюдаемых: аргументов у волновых функций. Неясность у меня именно в том, что антисимметрию или симметрию я могу вполне корректно определять математически и без $s$-переменных. Или все-таки они принципиально должны сдеть втеории изначально? Причем даже без релятивизма, т.е. без подключения теоремы Паули.

-- 12.02.2016, 21:55 --

Хорошая мысль, что эти чертовы детерминанты на самом деле только мозги пудрят, когда в начальных параграфах книжек. Может и в самом деле они имеют ценность только когда мы их, т.п. эти точные детерминантные представления используем как базисы для апроксимации состояний несвободных частиц? Еали так, то ведь надо же явно так и написать в книжках. Но, как я пока еще подозреваю, объяснять спины надо не этими детерминантами, а их суммами. Каша, по крайней мере у меня при чтении книжек идет от того, что слово спин, например, 1/2, подменяется на статистику Ферми, она заменяется на антисимметричность, а антисимметричность "объясняется" через ОДИН детерминант. В каждом шаге этой цепочки делается "незначительный обман", а в итоге "понимание шиворот на выворот". Прокомментируйте пожалуйста, так ли я просекаю. И, если можно, по-прежнему, пока без $s$-степеней свободы.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1098937 писал(а):

решаю шредингеров

Многочастичное (для N частиц) уравнение Шредингера (УШ далее) такое же, как УШ для одной частицы, но в пространстве 3N измерений. Но полностью к одной частице в 3N измерениях дело НЕ СВОДИТСЯ, если частицы тождественны. Нужно еще выкинуть половину решений (или сразу наложить соответствующее требование на пространство функций). А в остальном решайте себе как угодно, все получится, если правильно решите. Нужно только делать правильно: свойство асимметрии для всей функции, вместе со спиновыми переменными (бесспиновых фермионов не бывает). Т.е. Вы, конечно, можете и без спинов что-то там нарешать в пространстве асимметричных (относительно перестановок частиц) функций, но это не будет соответствовать НИКАКОЙ физической ситуации. По той простой причине, что физическое квантовое состояние асимметрично относительно ПОЛНОЙ перестановке частиц: и координат, и спинов. А если спинов в теории нет, то их и переставить невозможно: получится перестановка координат частиц БЕЗ перестановки спинов этих частиц. А это совсем не то же самое, что перестановка и координат, и спинов.

Если выключить все взаимодействия спинов (нет магнитного поля, спин-орбитального взаимодействия и т.д.), то все равно их полностью игнорировать нельзя. В этом случае волновая функция факторизуется на "спиновую часть" и "орбитальную часть". Если спиновая часть симметрична, то орбитальная ("координатная") должна быть асимметрична. И наоборот. Чтобы все целиком было асимметрично. Поэтому орбитальная часть волновой функции оказывается все равно зависимой от спинов. Отсюда, кстати, возникает так называемое обменное взаимодействие, которое есть ничто иное, как часть обычного ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО взаимодействия. Вот по закону Кулона. Никаких спинов в законе Кулона нет. Но, тем не менее, энергия кулоновского взаимодействия оказывается зависимой от спинов. Потому что у квантовых частиц такая "хитрая" кинематика, приводящая к тому, что координатная зависимость волновой функции с необходимостью разная при разных ориентациях спинов. Спин и орбитальное движение связаны КИНЕМАТИЧЕСКИ! Уже без какой-либо динамической связи (которая, в принципе, тоже есть).

Без спинов можно если спины ноль. И тогда симметричные функции. Или различимые частицы (тогда никакого требования симметрии/асимметрии).


-- Сб фев 13, 2016 03:02:11 --

WolfAlone в сообщении #1098937 писал(а):

детерминантные представления используем как базисы для апроксимации состояний несвободных частиц? Еали так, то ведь надо же явно так и написать в книжках.

Ни зачем более детерминанты не нужны. А в книжках как-то неясно это обычно... Да, детерминантные функции --- это БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ.

-- Сб фев 13, 2016 03:20:50 --

WolfAlone в сообщении #1098937 писал(а):

Грубо говоря, обменное взаимодействие, типа ЛЛ, можно ли смоделировать, зафиксировать как квантовый эффект, но без введения спиновых переменных?

Нельзя, невозможно. И я объяснил почему (это взаимодействие есть следствие кинематической связи спинов с координатами, вытекающей из требования асимметрии ПОЛНОЙ волновой функции).

[WolfAlone]

Я согласен, что спин с орбиталью не могут не взаимодействовать потому, что спин, как показывает эксперимент дает вклад в кинематическую величину - момент. Но он имеется - вклад - только когда у вас магнит включен. Спин без магнита ведь не появляется. Нет магнита, нет спина. А что все-таки делать с теми "многочастичными гамильтонианами" порождающими и симметричные и антисимметричные состояния? Просто объявить нефизичными? Но по ним ведь все что угодно можно разложить и раскладывают.