Название формулы

[Бодигрим]

Как называется формула

$$\sum_{\substack{p\le x\\q\mid(p-1)}} {1\over p} \sim {\log\log x \over q}$$

, где $q$ - простое число, $p$ пробегает все простые, не превосходящие $x$? Как выглядит остаточный член?

[Руст]

Думаю правильная формула должна выглядит

$$\sum_{\substack{p\le x\\q\mid(p-1)}} {1\over p} \sim {\log\log x \over {\phi (q)}.$$

[Бодигрим]

Угу, она самая. Для моих нужд было неважно, $q$ или $q-1$ будет стоять в знаменателе.

Не подскажете, хотя бы, где можно найти ее доказательство?

[RIP]

Да много где. Например, в книжках
Карацуба А.А. — Основы аналитической теории чисел
Прахар К. П. — Распределение простых чисел
Дэвенпорт Г. — Мультипликативная теория чисел
Смотрите главу про распределение простых чисел в арифметических прогрессиях. Там правда суммируется не $\frac1p$, но необходимая формула получается из асимптотической формулы для $\psi(x;q,1)$ или $\pi(x;q,1)$ с помощью суммирования по частям (преобразование Абеля). Не думаю, что эта формула имеет название (но я вполне могу и ошибаться). Остаточный член зависит от того, что известно про рост $q$ (или оно считается фиксированным?).

[Бодигрим]

RIP писал(а):

Там правда суммируется не $\frac1p$, но необходимая формула получается из асимптотической формулы для $\psi(x;q,1)$ или $\pi(x;q,1)$ с помощью суммирования по частям (преобразование Абеля).

Спасибо, разобрался.

RIP писал(а):

Остаточный член зависит от того, что известно про рост $q$ (или оно считается фиксированным?).

Фиксированным.

[RIP]

Тогда остаточный член [здесь была чушь - см. ниже] с некоторой постоянной $c>0$ (зависящей от $q$). Возможно, что его можно улучшить (в духе теоремы Виноградова-Коробова), учитывая, что $q$ фиксированное, да ещё простое, но это уже надо рыскать по статьям. Я особо этим вопросом не занимался, поэтому не могу сказать.

[Бодигрим]

Спасибо.

[Руст]

RIP писал(а):

Тогда остаточный член $O(xe^{-c\sqrt{\log x}})$ с некоторой постоянной $c>0$ (зависящей от $q$). Возможно, что его можно улучшить (в духе теоремы Виноградова-Коробова), учитывая, что $q$ фиксированное, да ещё простое, но это уже надо рыскать по статьям. Я особо этим вопросом не занимался, поэтому не могу сказать.

RIP здесь речь идёт не об остаточным члене для числа простых из арифметической последовательности. Здесь остаточный член равен просто $O(1).$

[RIP]

Да, я глупость написал. на самом деле остаточный член равен $\mathrm{const}+O(e^{-c\sqrt{\log x}})$. Просто писал по памяти (когда-то давно вычислял) и помнил, что там что-то в таком духе, вот и облажался. Прошу прощения.