Дифференцирование и интегрирование

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #1098445 писал(а):

Если мы дополним пространство элементарных функций функциями $\operatorname{erf}(x)$ и $\operatorname{erfi}(x)$, то тогда каждый интеграл будет браться?

Нет, есть куча интегралов от элементарных функций, которые не выражаются через $\operatorname{erf}$, а только через гипергеометрические ряды какие-нибудь.

[ewert]

На самом деле всё ещё хуже: если дополнить элементарные функции эрфиками, то немедленно возникает проблема интегрирования этих эрфиков с другими функциями... Этцетера.

[svv]

Давайте тогда расширим множество элементарных функций так: к списку действий, которые позволяют из элементарных получать новые элементарные, добавим интегрирование.

Я разрубил гордиев узел.

[arseniiv]

Это не удовлетворит многочисленных на этом форуме, надеюсь, малочисленных любителей иметь формулу.
Вот $\displaystyle{\int_0^t \sin\left(\int_1^x \frac{e^t}t dt\right) dx}$ — разве же это формула? Нет, это терм.

[Aritaborian]

Алгоритм Риша же.

[MestnyBomzh]

В таком случае как можно минимально дополнить пространство так, чтобы каждый интеграл был берущимся?

[Aritaborian]

Пусть меня поправят, если ошибаюсь, но... увы, никак.

[NSKuber]

Ну, можно в лоб добавить интегралы всех функций, с полученным пространством проделать то же самое и так далее, все полученные пространства объединить.
Как-то красиво результат записать, наверное, не получится.

[svv]

О, об этом я и говорил!

Не надо бояться знака интеграла. Когда-то людям, возможно, не нравилась операция деления, и они не хотели мириться с тем, что функцию $\frac{x^3+1}{x+1}$ можно выразить, пользуясь конечным количеством операций сложения, вычитания и умножения, а $\frac{x^3-1}{x+1}$ — нет. «Не делится без остатка в элементарных функциях степенях $x$». Потом привыкли.

[ewert]

svv в сообщении #1098606 писал(а):

Не надо бояться знака интеграла.

Бояться знака -- не надо. Бояться не надо даже знака "кирпич", хоть он иногда и падает на голову.

Но вот считаться с тем, что этот знак требует разработки численных алгоритмов (притом далеко не всегда хоть сколько-то универсальных, и почти всегда не оптимальных для каждого конкретного случая) -- с этим надо.

[svv]

Во-первых, далеко не всегда требуется численное значение определенного интеграла.
Во-вторых, численные алгоритмы и так приходится изобретать во многих разных ситуациях. Попробуйте построить график сферической функции Бесселя трёхсотого порядка вблизи нуля. Это элементарная функция. Рекуррентная формула, применённая в лоб, даст кошмарные результаты.

[ewert]

svv в сообщении #1098629 писал(а):

Попробуйте построить график сферической функции Бесселя трёхсотого порядка вблизи нуля. Это элементарная функция.

Это -- не элементарная функция. Хоть это и не суть.

svv в сообщении #1098629 писал(а):

далеко не всегда требуется численное значение определенного интеграла.

Всегда. Абсолютно всегда, когда дело дойдёт до его практического использования.

[svv]

ewert в сообщении #1098634 писал(а):

Это -- не элементарная функция. Хоть это и не суть.

Читайте внимательнее.