Релятивистские преобразования полей

[BalyunovVV]

В инерциальной системе отсчета имеется две параллельных, равномерно заряженных, бесконечных плоскости с одинаковой плотностью заряда. Они двигаются относительно ИСО перпендикулярно самим себе со скоростями $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Имеется пробный заряд ${q}$, двигающийся параллельно пластинам со скоростью $\vec{v_3}$. Будет ли на заряд действовать сила?



I способ
Найдем поле в ИСО рисунка. Очевидно, из соображений симметрии (поля пластин равны и противоположны по направлению), поле (электрическое и магнитное) в точке заряда равно 0, следовательно, и в ИСО заряда поле и сила, действующая на заряд, будут нулевыми.

II Способ
Найдем поле от правой пластины в ИСО заряда. Пусть поле пластины в ИСО пластины равно $\vec{E}'$. Скорость, с которой ИСО правой пластины перемещается относительно ИСО заряда, равна $\vec{v}=\vec{v_2}-\vec{v_3}$ Разложим $\vec{E}'$ на составляющие вдоль и поперек этой скорости $\vec{E'}=\vec{E'_n}+\vec{E'_t}$. Теперь преобразуем каждую из этих составляющих в ИСО заряда. Нормальная составляющая не изменится $\vec{E_n}=\vec{E'_n}$, а тангенциальная умножится на $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$. Если теперь сложить поля пластин обеих плоскостей в ИСО заряда, то результирующее поле уже не будет равно нулю. На заряд будет действовать сила, противоположная скорости (на положительный заряд). То, что в ИСО заряда может появиться магнитное поле, нас не интересует, так как заряд в этой ИСО неподвижен.

Какой способ решения правилен?

[rustot]

BalyunovVV в сообщении #1098327 писал(а):

Разложим $\vec{E}'$ на составляющие вдоль и поперек этой скорости

С какой стати у поля в другой исо вдруг появилась вторая составляющая? Что за преобразования полей вы используете? $\vec{E}$ так и останется горизонтально направленным. Составляющая $\vec{E}$ параллельная направлению движения другой исо остается неизменной. Раз она была нулевой, значит она и останется нулевой

[AnatolyBa]

Первый способ проще и, кажется, правильней. Что же не то во втором способе?
Рискну предложить следующее объяснение, хотя до количественного результата я не довел
Несколько мешает бесконечность пластин. Давайте предположим конечные пластины с каким-то центром.
Рассмотрим поле в ИСО пластины (правой). Вы предполагаете в точке нахождения заряда только электрическое поле. Но это верно только в один момент времени - когда заряд и центры обеих пластин лежат на одной прямой. Когда это не так, вторая пластина будет создавать в точке заряда магнитное поле, которое далее надо учитывать в преобразованиях. Итак, для момента времени, когда в ИСО правой пластины заряд и центры пластин лежат на одной прямой ваши дальнейшие рассуждения кажутся правильными и приводят к ненулевой силе. Но если мы вернемся к ИСО рисунка, то этот момент разобьется на три момента (относительность одновременности) и мы увидим, что сила ненулевая тогда, когда заряд и центры пластин в ИСО рисунка не лежат на одной прямой.
Можно начинать с ИСО рисунка. В ней сила равна нулю опять же когда заряд и центры пластин лежат на одной прямой (в этой ИСО). Когда мы перейдем в ИСО пластины - увидим смещение

[BalyunovVV]

rustot в сообщении #1098360 писал(а):

BalyunovVV в сообщении #1098327 писал(а):

Разложим $\vec{E}'$ на составляющие вдоль и поперек этой скорости

С какой стати у поля в другой исо вдруг появилась вторая составляющая? Что за преобразования полей вы используете? $\vec{E}$ так и останется горизонтально направленным. Составляющая $\vec{E}$ параллельная направлению движения другой исо остается неизменной. Раз она была нулевой, значит она и останется нулевой

Направление поля не совпадает с направлением относительной скорости систем отсчета. Чтобы облегчить преобразование разложил поле на нормальную и тангенциальную составляющие. каждую преобразую по отдельности

[rustot]

Тут вся сложность в том, чтобы при преобразовании силы из исо где покоится пластина в исо где покоится заряд а потом при повторении этого для второй пластины попасть в ту же исо именно с той же ориентацией осей. Ведь в исо, относительно которой покоится заряд пластины друг другу не параллельны. Скорее всего поворот поля и будет компенсировать поворот пластин в этой исо

Вот возьмем допустим исходной исо рисунка, оставим только одной пластину, имеем горизонтальное поле. Переходим в исо заряда - имеем горизонтальное поле и НЕ вертикальную пластину. То есть поле уже не перпендикулярно пластине. Вот этот доворот вы вероятно и получаете при преобразовании из исо пластины напрямую в исо заряда

[BalyunovVV]

rustot в сообщении #1098371 писал(а):

Тут вся сложность в том, чтобы при преобразовании силы из исо где покоится пластина в исо где покоится заряд а потом при повторении этого для второй пластины попасть в ту же исо именно с той же ориентацией осей. Ведь в исо, относительно которой покоится заряд пластины друг другу не параллельны. Скорее всего поворот поля и будет компенсировать поворот пластин в этой исо

Вот возьмем допустим исходной исо рисунка, оставим только одной пластину, имеем горизонтальное поле. Переходим в исо заряда - имеем горизонтальное поле и НЕ вертикальную пластину. То есть поле уже не перпендикулярно пластине

В том то и дело что в исо заряда поле уже не горизонтально.

[Munin]

AnatolyBa в сообщении #1098364 писал(а):

Что же не то во втором способе?
Рискну предложить следующее объяснение, хотя до количественного результата я не довел
Несколько мешает бесконечность пластин.

Всё намного проще. Переход от первой ко второй ИСО должен осуществляться бустом вдоль скорости $\vec{v}_3,$ а он бустит вдоль скорости $\vec{v}=\vec{v}_2+\vec{v}_3$ (см. второй рисунок).

-- 10.02.2016 15:06:20 --

Бесконечность играла бы роль, если бы он получал поле интегрированием, но он берёт поле уже заданным. А пластины ему вообще не нужны ни для чего, кроме жульничества со скоростью.

(Я, кстати, сразу заметил, что поле между расходящимися пластинами в точности равно полю между неподвижными.)

-- 10.02.2016 15:07:30 --

rustot тоже не заметил жульничества...

[rustot]

BalyunovVV в сообщении #1098376 писал(а):

В том то и дело что в исо заряда поле уже не горизонтально.

именно что горизонтально. не горизонтально оно в той исо заряд неподвижен а пластина вертикальна. не горизонтально оно и в той исо где заряд неподвижен а вторая пластина вертикальна. но это разные ориентации осей. а вот в той исо где заряд неподвижен и вертикальна условная ось вдоль которой в исо рисунка двигался заряд, поле от каждой из пластин горизонтально

сделайте так. насадите этот заряд на материальную спицу, которая на исходном рисунке будет неподвижной и вертикальной. теперь при переходе в исо, относительно которой покоится пластина и потом из нее в исо где покоится заряд следите внимательно за ориентацией спицы и после преобразования поля отмеряйте "горизонтали" относительно спицы, а не относительно наклонных координат исо

[BalyunovVV]

Munin в сообщении #1098388 писал(а):

Всё намного проще. Переход от первой ко второй ИСО должен осуществляться бустом вдоль скорости $\vec{v}_3,$ а он бустит вдоль скорости $\vec{v}=\vec{v}_2+\vec{v}_3$ (см. второй рисунок).

Давайте не будем "первой исо" "второй" и т. д. Есть исо правой пластины, исо рисунка, исо заряда. Я делаю преобразование из исо правой пластины в исо заряда (все относится ко II способу решения естественно) в исо правой пластины поле горизонтально, в исо заряда нет. Относительная скорость этих исо $\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_3$ где жульничество?

[rustot]

BalyunovVV в сообщении #1098394 писал(а):

Я делаю преобразование из исо правой пластины в исо заряда

При этом вы развернули оси исо заряда и отмеряете углы относительно них. Относительно развернутых осей поле не горизонтально. А чтобы определить насколько невольно вы развернули оси, добавьте в задачу материальную спицу по которой движется заряд и посмотрите на ориентацию этой спицы после преобразований



Вот так вы преобразуете и при преобразовании $\vec{E}$ меняет свой угол по отношению к оси $x'$. Но спица ТОЖЕ меняет свой угол по отношению к $x'$ и вот по отношению к ней поле остается перпендикулярным. При чем тут спица, зачем она вообще нужна? Она нужна для того, чтобы при повторе операции с другой пластиной вы в итоге второе слагаемое поля привели к той же ориентации осей исо, отнсительно которой покоится заряд. Если же вы при этих двух операциях получили разную ориентацию спицы, значит это исо с другой ориентацией осей и складывать поля между собой нельзя - они получены относительно разных исо. Ведь "заряд покоится" не является достаточным условием того что вы имеете дело с одной и той же исо, это могут быть две разные исо с разной ориентацией осей, вот одинаковая ориентация спицы и будет дополнительным условием того что вы два поля двух пластин преобразовали именно в одну и ту же исо перед тем как сложить

[chislo_avogadro]

BalyunovVV в сообщении #1098327 писал(а):

...
преобразуем каждую из этих составляющих в ИСО заряда. Нормальная составляющая не изменится $\vec{E_n}=\vec{E'_n}$, а ...

Почему нет? $\vec{\mathbf E'}$ по крайней мере должна измениться.

[amon]

В формулировке задачи имеется засада, связанная с тем, что ток на границе пластины не нулевой, и кроме электрического поля есть и магнитное.

[rustot]

amon в сообщении #1098410 писал(а):

В формулировке задачи имеется засада, связанная с тем, что ток на границе пластины не нулевой, и кроме электрического поля есть и магнитное.

$4\pi\vec{j} + \frac{\partial}{\partial t}\vec{E} = 0$

[amon]

$\frac{\partial}{\partial t}\vec{E} \ne 0$ на границе пластины.

[rustot]

amon в сообщении #1098417 писал(а):

$\frac{\partial}{\partial t}\vec{E} \ne 0$ на границе пластины.

Ровно там же где не равно нулю и $\vec{j}$. В сумме ноль, ротор магнитного поля ноль.