Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова

[galachel]

Есть стохастическое дифференциальное уравнение, для него нахожу уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова на плотность, это уравнение в частных производных параболического типа, хочу численно решить это уравнение (в учебнике Тихонов-Самарский есть методы численного решения параболических уравнений), но как поставить краевые условия у уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова?

[Pphantom]

Принципиально можно сделать, например, замену вроде $z=\arctg x$, бесконечный интервал превратится в конечный, после чего проблем с заданием граничных условий не будет. Однако проще взять просто какие-то "достаточно далекие" от интересного места значения и руками задать, что плотность в них нулевая. Потом, правда, придется следить за тем, чтобы изменения в центральной части счетной области не добирались до этих границ.

[galachel]

Pphantom в сообщении #1098213 писал(а):

Принципиально можно сделать, например, замену вроде $z=\arctg x$, бесконечный интервал превратится в конечный, после чего проблем с заданием граничных условий не будет. Однако проще взять просто какие-то "достаточно далекие" от интересного места значения и руками задать, что плотность в них нулевая. Потом, правда, придется следить за тем, чтобы изменения в центральной части счетной области не добирались до этих границ.

А как думаете можно сначала промоделировать траектории стохастического дифференциального уравнения (СДУ), найти из всех траекторий минимум и максимум решения СДУ и задать краевые условия нулевыми в точках, которые на малую величину смещены от минимума и максимума?

[Pphantom]

galachel в сообщении #1098225 писал(а):

А как думаете можно сначала промоделировать траектории стохастического дифференциального уравнения (СДУ), найти из всех траекторий минимум и максимум решения СДУ и задать краевые условия нулевыми в точках, которые на малую величину смещены от минимума и максимума?

Пожалуй, можно, но тут все сильно зависит от задачи, которую Вы решаете.

Например, в моих задачах обычно можно было указать интервал, за пределами которого плотность незначимо отличается от нуля, из физических соображений, а тогда попросту быстрее это и сделать, изменив его в тех сравнительно редких случаях, когда оценка оказывается неудачной. Но если у Вас почему-то нет совсем никаких данных о возможной эволюции плотности со временем, то можно сначала заняться и моделированием. Правда, тут, кроме скорости, есть еще один очевидный недостаток - Вам придется фактически решать две задачи вместо одной, сначала занимаясь моделированием СДУ, а потом отдельно решая уравнение Фоккера-Планка (ну и, соответственно, две программы писать и т.п.).

[galachel]

Согласен с Вами. В плане вычислений это будет долго и ещё недостаток такого подхода в случае, когда дисперсия СДУ сильно растёт (по моему это называется неустойчиво в среднем квадратическом), но к сожалению задача стоит именно такая, что есть любое СДУ (предполагается, что мы ничего о нём не знаем) и надо найти плотность. Вы кстати знаете какие-нибудь способы уменьшения (понижения) дисперсии?

[Pphantom]

galachel в сообщении #1098228 писал(а):

Вы кстати знаете какие-нибудь способы уменьшения (понижения) дисперсии?

Просто так, без содержательного изменения уравнения, Вы ее не уменьшите, а вот избавиться от численного "расползания" можно той же заменой с арктангенсом (или еще чем-то аналогичным).

[galachel]

Под численным "расползанием" Вы имеете ввиду, когда дисперсия сильно растёт?

[Pphantom]

galachel в сообщении #1098233 писал(а):

Под численным "расползанием" Вы имеете ввиду, когда дисперсия сильно растёт?

Да. Собственно, для уравнения Фоккера-Планка это и есть расползание области ненулевых плотностей по координате в самом буквальном смысле.

[galachel]

А можете мне привести пример нелинейного СДУ, где бы я применил эту замену и решил бы уравнение ФПК. Хочу сделать это в качестве упражнения, чтобы на практике усвоить.

[Pphantom]

galachel в сообщении #1102224 писал(а):

А можете мне привести пример нелинейного СДУ, где бы я применил эту замену и решил бы уравнение ФПК. Хочу сделать это в качестве упражнения, чтобы на практике усвоить.

Готового, пожалуй, не приведу, а придумать что-то Вам самому будет проще.