Inequality in a triangle (re)discovered by me

[ins-]

For non-obtuse triangle this is correct, not the one I wrote before: $m_a+m_b+m_c \ge \frac{4R^2+16Rr+6r^2}{3R}$, so the question: How to prove: $m_a+m_b+m_c \ge 2.5R+4r$? remains.

[arqady]

ins- в сообщении #1097100 писал(а):

I also proved the following result today: $m_a+m_b+m_c > 4R$ for non obtuse triangle.

Это убивается неравенством Гёльдера, но доказательство несимпатичное.
Чуствуется, что здесь есть что-то красивое геометрическое.

[ins-]

I don't know if it is beautiful, but it is what I had in mind when found this result.

$m_a+m_b+m_c \ge \frac{a^2+b^2+c^2}{2R} = \frac{8R^2(1+cosAcosBcosC)}{2R} \ge \frac{8R^2(1+0)}{2R} = 4R$

We cannot have equality, because the triangle should have two right angles to have it.

[grizzly]

arqady в сообщении #1097600 писал(а):

Чуствуется, что здесь есть что-то красивое геометрическое.

Оно даже проще, чем красивее :)

[ins-]

Thank you for this link. I discovered this statement by an independent way. I haven't seen this problem before. http://imomath.com/othercomp/Bul/BulMO367.pdf problem 5 from here was my source of inspiration. It is very hard to discover something new in a science with thousands years of history. Some time ago I discovered by an independent way problems from Romania TST, Hong Kong TST (mine was even harder and more beautiful but to solve it was used the statement from Hong Kong's problem), some German magazine, statement of Floor van Lamoen, regarding Droz-Farny's theorem and many more. I have no information some of the statements I proposed to be discovered before me.

[grizzly]

ins-
Ни в коем случае я не сомневался в Вашем независимом открытии этого факта. Наоборот, это делает Вам честь, я считаю. А то, что задача на самом деле была проще, чем казалось -- ну так ведь всем казалось :)
Я не собирался искать задачу или её решение. Я-то считал, что это сложно, решил обновить свои знания про медианы, а тут сразу и попалась нужная ссылка -- не притворяться же теперь, что я её не видел