Inequality in a triangle (re)discovered by me

[ins-]

Prove that for every non-obtuse angled triangle with medians $m_a$, $m_b$, $m_c$, inradius $r$ and circumradius $R$ the following inequality is correct: $2R+5r \le m_a+m_b+m_c$.

[ins-]

I have a proof but I'm interested to see different opinions and ideas. It is the reason to post the problem with the hope it is not boring.

[ins-]

If you are interested - you can see a solution to this problem: http://www.artofproblemsolving.com/comm ... 90h1188381

[lopkityu]

(Оффтоп)

Мне кажется, тут можно подобрать более точные значения для коэффициентов возле $ R $ и $ r $. Уж слишком они искусственно выглядят. Но если это наилучшая оценка, то я сильно удивлюсь.

[ins-]

These are the best integer coefficients that can be put. I suppose that it is possible to find an expression for R and r that the inequality can be stronger. For the article I posted link to, the second inequality was the best that the author was capable to find. I saw in a Bulgarian book - it is true the following for any triangle: $\frac{a^2+b^2+c^2}{2R} \le m_a+m_b+m_c$

[grizzly]

lopkityu в сообщении #1096883 писал(а):

Мне кажется, тут можно подобрать более точные значения для коэффициентов возле $ R $ и $ r $. Уж слишком они искусственно выглядят. Но если это наилучшая оценка, то я сильно удивлюсь.

Можете сильно удивляться
В таких случаях проще всего представить себе какой-нибудь равносторонний треугольник и прикинуть в уме, что на нём достигается равенство, а значит неравенство просто так усилить (уменьшением констант) уже нельзя.

Правда, можно подобрать альтернативные константы, что-то типа такого: $2{,}5R+4r \le m_a+m_b+m_c$. Интуиция подсказывает, что это неравенство тоже верно (но я не проверял) и если я прав, то в каком-то смысле оно более сильное, конечно.

[ins-]

Your inequality seems to be correct and stronger. I suppose the strongest one is for some ugly constants for the coefficients before R and r. Usually they are in form of some radicals. More interesting moment is how to prove your inequality. I'm asking this because the way on the link doesn't works for your inequality.

[ins-]

For non obtuse triangle we have $m_a+m_b+m_c \ge \frac{8R^2+32Rr+12r^2}{3R}$ it may be used to prove the proposed by you inequality.

[grizzly]

ins- в сообщении #1097022 писал(а):

Maybe this inequality for non-obtuse triangle I just proved may be used: $m_a+m_b+m_c \ge \frac{4R^2+16Rr+6r^2}{R}$ may be used :)

А я имел в виду вот такое неравенство, в котором константы являются в некотором смысле наилучшими (надеюсь, я не ошибаюсь): $m_a+m_b+m_c\ge (3+t)R+(3-2t)r$, где $t=3\sqrt{10}+ 4\sqrt{5}-7\sqrt{2}-9$.

upd 1. Внёс правки в константы.
upd 2. Исправил знак после замечания ниже.

[ins-]

:) it is what I mentioned by ugly constants. But it is interesting and very strong if you are correct. Your inequality is with reversed sign. If the sigh is reversed for integers we have $m_a+m_b+m_c \le 4R+r$

[grizzly]

ins- в сообщении #1097092 писал(а):

Your inequality is with reversed sign.

О, это я по невнимательности, sorry. Сейчас опять поправлю.

[ins-]

I also proved the following result today: $m_a+m_b+m_c > 4R$ for non obtuse triangle.

[grizzly]

ins- в сообщении #1097100 писал(а):

I also proved the following result today: $m_a+m_b+m_c > 4R$ for non obtuse triangle.

А разве трудно заменить 4 на$1+\sqrt{10}?$ (опять же, интуитивно)

-- 05.02.2016, 17:51 --

(Очевидно, что $1+\sqrt{10}$ неулучшаема.)

[ins-]

:) it is not intuitive for me. I suppose you are using some interesting instruments to prove this. Is is possible to have equality in your inequality? 4 is the best integer constant and the proof is easy.

[grizzly]

ins- в сообщении #1097103 писал(а):

:) it is not intuitive for me

Я уже вижу, что ошибся. Моя интуиция будет забанена за это до конца дня.