2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Закомуристые числа
Сообщение13.12.2015, 16:32 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Назовём натуральное число закомуристым, если оно ровно в $5\dfrac{3}{4}$ раза больше произведения своих десятичных цифр.
Найдите все закомуристые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закомуристые числа
Сообщение13.12.2015, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
То есть, типа $138$? Или $184\,?$
Вот как с числами лучше писать знак вопроса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закомуристые числа
Сообщение13.12.2015, 17:49 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
Типа да, ещё 345 есть, а вот дальше...

-- 13.12.2015, 18:26 --

gris в сообщении #1081897 писал(а):
Вот как с числами лучше писать знак вопроса?

С улыбкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закомуристые числа
Сообщение07.02.2016, 10:13 


12/07/15
3552
г. Чехов
Вроде доказал, что закомуристых чисел с более чем 16 цифрами не существует. Наверняка есть более точные оценки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Закомуристые числа
Сообщение07.02.2016, 17:47 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Mihaylo
Доказательство длинное у Вас?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закомуристые числа
Сообщение07.02.2016, 17:57 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Mihaylo, а оно (ваше доказательство) обобщается на случай $k$-закомуристых чисел для $k \neq 5\dfrac34$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Закомуристые числа
Сообщение08.02.2016, 05:12 


12/07/15
3552
г. Чехов
Исходное уравнение по условию задачи
$\sum\limits_{i}10^i\cdot a_i=5\frac{3}{4}\cdot\prod\limits_{i} a_i$,
где $a_i$ - это цифры закомуристого числа, $i$ изменяется от 0 до $m$, $m$ - количество цифр минус один.

Отбросим у закомуристого числа все цифры младшего разряда. Получится число заведомо меньше, чем само закомуристое число. В правой стороне исходного уравнения заменим все цифры младшего разряда на девятки, получим число заведомо бОльшее, чем исходное произведение.

Рассмотрим уравнение
$10^m\cdot a_m>5\frac{3}{4}\cdot 9^m\cdot a_m$

Отсюда
$m>\frac{\ln 5\frac{3}{4}}{\ln \frac{10}{9}}\approx 16,6$

 Профиль  
                  
 
 Re: Закомуристые числа
Сообщение09.02.2016, 20:13 


12/07/15
3552
г. Чехов
Mihaylo в сообщении #1097811 писал(а):
Рассмотрим уравнение

Хотел сказать "рассмотрим неравенство".

Ну и подвести итог: так как неравенство всегда справедливо при $m=17, 18, ...$, то никогда не будет исходного равенства.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group