Закомуристые числа

[Ktina]

Назовём натуральное число закомуристым, если оно ровно в $5\dfrac{3}{4}$ раза больше произведения своих десятичных цифр.
Найдите все закомуристые числа.

[gris]

То есть, типа $138$? Или $184\,?$
Вот как с числами лучше писать знак вопроса?

[Ktina]

gris
Типа да, ещё 345 есть, а вот дальше...

-- 13.12.2015, 18:26 --

gris в сообщении #1081897 писал(а):

Вот как с числами лучше писать знак вопроса?

С улыбкой.

[Mihaylo]

Вроде доказал, что закомуристых чисел с более чем 16 цифрами не существует. Наверняка есть более точные оценки.

[Ktina]

Mihaylo
Доказательство длинное у Вас?

[Aritaborian]

Mihaylo, а оно (ваше доказательство) обобщается на случай $k$-закомуристых чисел для $k \neq 5\dfrac34$?

[Mihaylo]

Исходное уравнение по условию задачи
$\sum\limits_{i}10^i\cdot a_i=5\frac{3}{4}\cdot\prod\limits_{i} a_i$,
где $a_i$ - это цифры закомуристого числа, $i$ изменяется от 0 до $m$, $m$ - количество цифр минус один.

Отбросим у закомуристого числа все цифры младшего разряда. Получится число заведомо меньше, чем само закомуристое число. В правой стороне исходного уравнения заменим все цифры младшего разряда на девятки, получим число заведомо бОльшее, чем исходное произведение.

Рассмотрим уравнение
$10^m\cdot a_m>5\frac{3}{4}\cdot 9^m\cdot a_m$

Отсюда
$m>\frac{\ln 5\frac{3}{4}}{\ln \frac{10}{9}}\approx 16,6$

[Mihaylo]

Mihaylo в сообщении #1097811 писал(а):

Рассмотрим уравнение

Хотел сказать "рассмотрим неравенство".

Ну и подвести итог: так как неравенство всегда справедливо при $m=17, 18, ...$, то никогда не будет исходного равенства.