Задача по планиметрии

[stedent076]

Длины двух сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны соответственно 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.
Найдите высоту треугольника, проведённую к стороне, равной 29.
Я решал так:
обозначим третью сторону $AB$, точку пересечения третьей стороны медианой – $O$, угол $ACO$как $\varphi_1$, угол $BCO$ как $\varphi_2$ . По условию $AO=OB=\alpha$.
Тогда, используя теорему косинусов, можно записать:
$\sqrt{27^2+26^2-2\cdot 27\cdot 26\cdot\cos\varphi_1}=\sqrt{26^2+29^2-2\cdot 29\cdot 26\cdot\cos\varphi_2}=\alpha$

$\dfrac{27^2-29^2}{2\cdot 26}=27\cos\varphi_1-29\cos\varphi_2$
Скажите,пожалуйста, что делать дальше?

[mihailm]

Формула же есть про длину медианы через стороны, ее и используйте; можно также достроить треугольник до параллелограмма.
Потом Герон

[Mihr]

stedent076,
на мой взгляд, проще всего использовать векторную алгебру. Построим на сторонах треугольника, выходящих из общей вершины, векторы a, b, тогда вектор, построенный на медиане, выходящей из той же вершины, будет равен полусумме векторов a, b. Дальше всё получается довольно просто (в том смысле, что думать особо не над чем, нужно только считать).

[svv]

Известны $a=29, \;b=27, \;|\mathbf a+\mathbf b|=52$.
Найти $\mathbf a\cdot \mathbf b$.
$\dfrac{\mathbf a\cdot \mathbf b}a$ — длина проекции $\mathbf b$ на $\mathbf a$.
Теорема Пифагора.