Что такое векторное произведение?

[asclub]

Здравствуйте!

Помогите разобраться, пожалуйста, первокурснику.

Что это за операция - векторное произведение. Мне, конечно, известно его "векторное" определение, но оно странное и интуитивно непонятное: результат - на самом деле псевдовектор, зависит от ориентации базиса. Более того, вся это непонятная фигня с псевдовекторами справедлива только в трехмерном (и еще одном) случае.

Почитав несколько небольших статей (в том числе и из вики), стало немного ясно, что результат векторного произведения гораздо проще понимать как кососиметрическую матрицу (а не вектор).

Вот мне хотелось бы узнать, есть ли какая-нибудь более обобщенная операция, частью которой является "векторное произведение" и связано ли с ним каким-то образом скалярное произведение (как в частном случае с кватернионами).

Почему эта матрица кососиметрическая, и есть ли некая симетрическая часть "связанная" с ней или возникающая в какой-то более обобщенной операции? Векторное произведение как-то возникает естественным образом? А что в пространствах отличных от трехмерного?

Сейчас мне хотелось бы понять суть не слишком углубляясь в более сложные разделы алгебры (максимум начала тензоров). Буду рад, любым объяснениям, аналогиям, или ссылкам, в каком направлении покопать.

[Brukvalub]

asclub, судя по вопросу, вы только что ознакомились со статьей в Вики.
Что в этой статье осталось для вас непонятным?

[Xaositect]

asclub в сообщении #1096462 писал(а):

Вот мне хотелось бы узнать, есть ли какая-нибудь более обобщенная операция, частью которой является "векторное произведение" и связано ли с ним каким-то образом скалярное произведение (как в частном случае с кватернионами).

Да, эта операция называется внешним произведением (форм или поливекторов). Скалярное произведение для нее не нужно, в трехмерном случае оно используется для задания изоморфизма между бивекторами (те самые объекты, которые представляются кососимметрическими матрицами) и обычными векторами. В многомерном случае есть аналогичное соответствие между $k$- и $(n-k)$-поливекторами (звезда Ходжа).

asclub в сообщении #1096462 писал(а):

Векторное произведение как-то возникает естественным образом? А что в пространствах отличных от трехмерного?

Векторное произведение - это композиция внешнего произведения и звезды Ходжа. В $n$-мерном пространстве можно так же определить векторное произведение $n-1$ векторов.

asclub в сообщении #1096462 писал(а):

Почему эта матрица кососиметрическая, и есть ли некая симетрическая часть "связанная" с ней или возникающая в какой-то более обобщенной операции?

А вот тут все немного сложнее. Если у нас есть два вектора, то можно рассмотреть их тензорное произведение и выделить симметричную и антисимметричную части (на языке матриц: разложить матрицу ранга 1 $u v^T$ в сумму симметричной и антисимметричной), но если рассматривать тензорные произведения 3 векторов или более, то кроме симметричной и антисимметричной возникают еще слагаемые. А если мы работаем не над действительными или комплексными числами, а над полем положительной характеристики, то все еще сложнее. Надо углубляться в теорию представлений, это Вам пока не надо.

Могу посоветовать книгу "Linear algebra via exterior products", там разбирается связь между основными понятиями линейной алгебры и внешними формами.

[Munin]

asclub в сообщении #1096462 писал(а):

Мне, конечно, известно его "векторное" определение, но оно странное и интуитивно непонятное: результат - на самом деле псевдовектор, зависит от ориентации базиса. Более того, вся это непонятная фигня с псевдовекторами справедлива только в трехмерном (и еще одном) случае.

Да, оно странное.
Да, оно трёхмерное.
Ну и что?

Берите и пользуйтесь. Вы же первокурсник. Вот дойдёте курса до четвёртого, можете начать задаваться такими вопросами...

Иначе вы рискуете о высоких материях помечтать, а простым вещам не научиться.

[mihailm]

Хорошо, когда структура является не только векторным пространством, но и алгеброй. Поэтому срочно пришлось придумывать умножение векторов - какое смогли, такое и придумали.
Кстати, ничего плохого в зависимости векторного произведения от ориентации нет. Главное между двумя последовательными вычислениями векторных произведений не менять ориентацию!

[ewert]

asclub в сообщении #1096462 писал(а):

Векторное произведение как-то возникает естественным образом?

Да, оно возникает. Ровно в физике, в которой без него как-то уж слишком неудобно. Ну а потом уж обобщается на всяческие антисимметричности; но это уже -- сугубо потом.

[Munin]

Увы, и в физике оно возникает не совсем естественным образом.

Естественным образом оно возникает ровно в одном месте: в алгебре кватернионов. Откуда исторически и было унаследовано. Но кватернионы как раз не обязаны хорошо себя вести при замене базиса, у них "базис фиксирован". И размерность фиксирована. Так что, для них это вполне естественная алгебраическая операция - часть полной операции умножения кватерниона на кватернион.

[arseniiv]

Удобство векторного произведения только в одном (и это, конечно, совершенно не новость, и все это знают): оно позволяет не добавлять что-то новое к векторам и скалярам. Стремление безобидное, если не намереваться шагать дальше.

[ewert]

Munin в сообщении #1096686 писал(а):

оно возникает ровно в одном месте: в алгебре кватернионов.

Да, ровно в одном, но только в совершенно другом: в био-савара-лапласах (ну и прочих лоренцах). Там оно совершенно необходимо для компактификации записи. И явилось там как сугубо эмпирический факт.

[Munin]

Да, действительно, про магнитное поле я забыл. Но ему направление присваивается всё-таки условно.