2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что такое векторное произведение?
Сообщение03.02.2016, 17:10 
Аватара пользователя


03/02/16
6
Здравствуйте!

Помогите разобраться, пожалуйста, первокурснику.

Что это за операция - векторное произведение. Мне, конечно, известно его "векторное" определение, но оно странное и интуитивно непонятное: результат - на самом деле псевдовектор, зависит от ориентации базиса. Более того, вся это непонятная фигня с псевдовекторами справедлива только в трехмерном (и еще одном) случае.

Почитав несколько небольших статей (в том числе и из вики), стало немного ясно, что результат векторного произведения гораздо проще понимать как кососиметрическую матрицу (а не вектор).

Вот мне хотелось бы узнать, есть ли какая-нибудь более обобщенная операция, частью которой является "векторное произведение" и связано ли с ним каким-то образом скалярное произведение (как в частном случае с кватернионами).

Почему эта матрица кососиметрическая, и есть ли некая симетрическая часть "связанная" с ней или возникающая в какой-то более обобщенной операции? Векторное произведение как-то возникает естественным образом? А что в пространствах отличных от трехмерного?

Сейчас мне хотелось бы понять суть не слишком углубляясь в более сложные разделы алгебры (максимум начала тензоров). Буду рад, любым объяснениям, аналогиям, или ссылкам, в каком направлении покопать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение03.02.2016, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
asclub, судя по вопросу, вы только что ознакомились со статьей в Вики.
Что в этой статье осталось для вас непонятным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение03.02.2016, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
asclub в сообщении #1096462 писал(а):
Вот мне хотелось бы узнать, есть ли какая-нибудь более обобщенная операция, частью которой является "векторное произведение" и связано ли с ним каким-то образом скалярное произведение (как в частном случае с кватернионами).
Да, эта операция называется внешним произведением (форм или поливекторов). Скалярное произведение для нее не нужно, в трехмерном случае оно используется для задания изоморфизма между бивекторами (те самые объекты, которые представляются кососимметрическими матрицами) и обычными векторами. В многомерном случае есть аналогичное соответствие между $k$- и $(n-k)$-поливекторами (звезда Ходжа).

asclub в сообщении #1096462 писал(а):
Векторное произведение как-то возникает естественным образом? А что в пространствах отличных от трехмерного?
Векторное произведение - это композиция внешнего произведения и звезды Ходжа. В $n$-мерном пространстве можно так же определить векторное произведение $n-1$ векторов.

asclub в сообщении #1096462 писал(а):
Почему эта матрица кососиметрическая, и есть ли некая симетрическая часть "связанная" с ней или возникающая в какой-то более обобщенной операции?
А вот тут все немного сложнее. Если у нас есть два вектора, то можно рассмотреть их тензорное произведение и выделить симметричную и антисимметричную части (на языке матриц: разложить матрицу ранга 1 $u v^T$ в сумму симметричной и антисимметричной), но если рассматривать тензорные произведения 3 векторов или более, то кроме симметричной и антисимметричной возникают еще слагаемые. А если мы работаем не над действительными или комплексными числами, а над полем положительной характеристики, то все еще сложнее. Надо углубляться в теорию представлений, это Вам пока не надо.

Могу посоветовать книгу "Linear algebra via exterior products", там разбирается связь между основными понятиями линейной алгебры и внешними формами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение03.02.2016, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
asclub в сообщении #1096462 писал(а):
Мне, конечно, известно его "векторное" определение, но оно странное и интуитивно непонятное: результат - на самом деле псевдовектор, зависит от ориентации базиса. Более того, вся это непонятная фигня с псевдовекторами справедлива только в трехмерном (и еще одном) случае.

Да, оно странное.
Да, оно трёхмерное.
Ну и что?

Берите и пользуйтесь. Вы же первокурсник. Вот дойдёте курса до четвёртого, можете начать задаваться такими вопросами...

Иначе вы рискуете о высоких материях помечтать, а простым вещам не научиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение03.02.2016, 20:58 


19/05/10

3940
Россия
Хорошо, когда структура является не только векторным пространством, но и алгеброй. Поэтому срочно пришлось придумывать умножение векторов - какое смогли, такое и придумали.
Кстати, ничего плохого в зависимости векторного произведения от ориентации нет. Главное между двумя последовательными вычислениями векторных произведений не менять ориентацию!

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение04.02.2016, 01:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32074
asclub в сообщении #1096462 писал(а):
Векторное произведение как-то возникает естественным образом?

Да, оно возникает. Ровно в физике, в которой без него как-то уж слишком неудобно. Ну а потом уж обобщается на всяческие антисимметричности; но это уже -- сугубо потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение04.02.2016, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Увы, и в физике оно возникает не совсем естественным образом.

Естественным образом оно возникает ровно в одном месте: в алгебре кватернионов. Откуда исторически и было унаследовано. Но кватернионы как раз не обязаны хорошо себя вести при замене базиса, у них "базис фиксирован". И размерность фиксирована. Так что, для них это вполне естественная алгебраическая операция - часть полной операции умножения кватерниона на кватернион.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение04.02.2016, 11:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Удобство векторного произведения только в одном (и это, конечно, совершенно не новость, и все это знают): оно позволяет не добавлять что-то новое к векторам и скалярам. Стремление безобидное, если не намереваться шагать дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение04.02.2016, 23:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32074
Munin в сообщении #1096686 писал(а):
оно возникает ровно в одном месте: в алгебре кватернионов.

Да, ровно в одном, но только в совершенно другом: в био-савара-лапласах (ну и прочих лоренцах). Там оно совершенно необходимо для компактификации записи. И явилось там как сугубо эмпирический факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое векторное произведение?
Сообщение04.02.2016, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Да, действительно, про магнитное поле я забыл. Но ему направление присваивается всё-таки условно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group