Отношение сравнимости по модулю

[Ostromir]

В обсуждаемой книге обнаружил пару досадных опечаток. Если читать, то проверять в гугле. Увы...

Вот это опечатка или нет?

82 $=$ 58 (mod 4), потому что 82 — 58 $=$ 24, которое кратно 4.

*я не нашел как запостить символ сравнения по модулю...

[Lia]

Ostromir в сообщении #1096560 писал(а):

*я не нашел как запостить символ сравнения по модулю...

А что-то Вы плохо искали. \equiv и \pmod

16\equiv 1 \pmod{5}

Ostromir в сообщении #1096560 писал(а):

82 $=$ 58 (mod 4), потому что 82 — 58 $=$ 24, которое кратно 4.

Ну и что Вам не нравится? Кратно.

[Ostromir]

Кулькулятор мне высчитывает

$82\equiv 2 \pmod{4}$

[Anton_Peplov]

Калькулятор совершенно прав. И при этом совершенно не противоречит книжке.

Ostromir, Вы уверены, что помните, что такое сравнение по модулю $n$? Определение привести не затруднит?

[arseniiv]

Ostromir
А 58?

[Munin]

Я даже больше скажу:
$82=86\pmod{4}$

-- 04.02.2016 11:32:58 --

Не путать с операцией вычисления остатка, которая не имеет общепринятого математического обозначения, но в программировании часто обозначается mod (или rem, или %):
$82\bmod 4=2,$
конечно же.

[arseniiv]

А, ну да, стоило написать, что $m\equiv n \pmod b$ — это отношение чисел $m$ и $n$, именно потому обычно скобки и третья палочка. Притом $\equiv$ намекает, что это отношение эквивалентности, как на самом деле и есть. Можно было бы обозначать такие отношения $m\equiv_b n$, но прижилась запись выше. К тому же, если часто повторяется одно и то же $b$, можно не писать $\pmod b$ вообще.

Обычно это всё написано рядом с самим определением сравнимости по модулю.

[Munin]

Третья палочка, третья палочка. Экономить надо пиломатериалы! $m\sim n\pmod b,$ если уж вам так хочется "отношение эквивалентности" изобразить. Заодно, кривую палочку использовали, сэкономив прямые вообще. А то навалят штабелями, а от рощицы одни пеньки, да и костерок разложить не из чего...

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1096706 писал(а):

Экономить надо пиломатериалы!

Не буду напоминать, в чём польза избыточного кодирования. В частности, может попасться сразу несколько отношений эквивалентности разом…

[Munin]

Если несколько, складывайте их аккуратненько: $\approx,$ $\stackrel{\raisebox{-1pt}{\(\sim\)}}{\approx},$ и перевязывайте, чтобы не рассыпались: ${\not\mathrel{\raisebox{-2pt}{\(\stackrel{\raisebox{-1pt}{\(\sim\)}}{\approx}\)}}}.$

[Ostromir]

Я наверно действительно воспринимал эту операцию, как нахождение остатка.

То есть x в выражении

$$82\equiv X \pmod{4}$$

может принимать разные значения?

Видимо, это та опасность, которая подстерегает неофита, читающего научпоп.

Зато я более-менее понял гипотезу Римана, до которой я бы в жизнь не добрался, начав с учебников.


(в школе я был отличником по математике, но всё забыл, теперь начинаю сначала ради спортивного интереса. Не обессудьте).

[Munin]

Ostromir в сообщении #1096734 писал(а):

То есть $x$ в выражении

$$82\equiv X\pmod{4}$$

может принимать разные значения?

Да. Это отношение эквивалентности. Оно объявляет "эквивалентными" (в некотором смысле! не "равными") некоторые элементы множества. Эквивалентных элементов может оказаться целая куча. Это отношение можно точно так же записать и в обратную сторону:

$$X\equiv 82\pmod{4}.$$

В школьной алгебре встречается такое отношение эквивалентности: "числа равны по модулю". В школьной геометрии: "фигуры равны" (но могут быть разными фигурами, по-разному расположенными на плоскости, по-разному ориентированными), "фигуры подобны", "отрезки равны по длине", "углы равны по раствору", "фигуры равны по площади" (тогда их называют равновеликими), "прямые параллельны" (если считать прямую параллельной самой себе), и т. п.

[Lia]

Тема отделена от «Функция Эйлера. Поясните абзац.».

Ostromir
Просьба не организовывать в одной теме сводного обсуждения всех вопросов, которые Вас в данный момент интересуют.

[alcoholist]

Ostromir в сообщении #1096734 писал(а):

То есть x в выражении

$$82\equiv X \pmod{4}$$

может принимать разные значения?

не "принимать разные значения"! Просто это выражение истинно для многих $X$. Именно для $X\in\{2+4k:k\in\mathbb{Z}\}$