Внутренность в аффинной оболочке

[Grabovskiy]

Известно, что в конечномерном топологическом векторном пространстве внутренность выпуклого множества относительно его аффинной оболочки не пуста. А что насчет бесконечномерного случая?
Верно ли, что в бесконечномерном топологическом векторном пространстве внутренность всякого выпуклого множества относительно его аффинной оболочки не пуста? (в индуцированной топологии)

[alcoholist]

вероятно, в конечномерном пространстве имеется ввиду топология произведения прямых
а в бесконечномерном какая топология?

[Grabovskiy]

alcoholist
Извиняюсь, имел в виду векторную топологию

[quartermind]

Grabovskiy, в бесконечномерных пространствах бывают весьма разные векторные топологии. В общем случае ваше утверждение неверно, в любом бесконечномерном нормированном пространстве легко построить пример "плохого" выпуклого множества, у которого аффинная оболочка — всё пространство, а внутренность — пуста (порасмыслите сами, как можно использовать норму). Однако, если взять в линейном пространстве самую сильную локально выпуклую топологию (в Колмогорове–Фомине она называлась ядерно-выпуклой, см. упражнения к § III.5.2), то для такой специальной топологии ваше утверждение выполняться, думаю, будет.

(Оффтоп)

Интересно, не характеризует ли наше свойство данную топологию полностью (ну скажем, рассматриваем только хаусдорфовые)?

[red_alert]

quartermind в сообщении #1096635 писал(а):

Однако, если взять в линейном пространстве самую сильную локально выпуклую топологию (в Колмогорове–Фомине она называлась ядерно-выпуклой, см. упражнения к § III.5.2), то для такой специальной топологии ваше утверждение выполняться, думаю, будет.

Это тоже неправда. Возьмем в бесконечномерном пространстве выпуклую оболочку множества $\{0\} \cup \{e_i: i \in I\}$, где $e_i$ - базисные вектора.

[quartermind]

red_alert, действительно, я чего-то вообще сначала подумал, что в такого вида множествах будет целая окрестность нуля.
Вопрос к Grabovskiy: следует ли отсюда, что ваше утверждение не имеет места вообще ни в каком бесконечномерном пространстве?

(Спойлер)

Конечно, из определения ядерно-выпуклой топологии получается, что оно будет выполнено для выпуклых множеств, симметричных относительно нуля, и только в этой топологии.

[Grabovskiy]

Спасибо за ответы! Как работает контрпример в сильнейшей локально выпуклой топологии я не понял, но можно сделать то же самое в, например, $l_2$.
Положим $M := \text{co}(\{0\}\cup\{e_n : n \in \mathbb{N}\}) $ и рассмотрим пространство $ L:= \text{л.о.}M \subsetneq l_2 $. Предположим, что $x \in M$ есть внутренняя точка множества $M$. Тогда $x$ представим в виде выпуклой комбинации $x = \sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$ и $B_\varepsilon (x) \subset M$ для некоторого $\varepsilon > 0$. Рассмотрим элемент $y:=\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k + \delta e_{n+1}$, где $0 < \delta < \varepsilon$. Тогда
$\|x - y\| = \delta < \varepsilon$
т.е. $y \in B_\varepsilon (x)$. Но $y$ не является выпуклой комбинацией элементов из $M$, а потому $y \notin M$. Противоречие.

quartermind в сообщении #1096766 писал(а):

red_alert,
Вопрос к Grabovskiy: следует ли отсюда, что ваше утверждение не имеет места вообще ни в каком бесконечномерном пространстве?

Антидискретное пространство тоже локально выпукло, в нем утверждение выполнено. Да, в Колмогорове, Фомине на ядерно-выпуклую топологию накладывается хаусдорфовость, но это необязательно. Возможно, что утверждение неверно для всех хаусдорфовых локально выпуклых твп.

[quartermind]

Grabovskiy, я подразумевал хаусдорфовость, антидискретное ТВП — почти что нульмерное.