2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 00:24 


16/01/14
73
Известно, что в конечномерном топологическом векторном пространстве внутренность выпуклого множества относительно его аффинной оболочки не пуста. А что насчет бесконечномерного случая?
Верно ли, что в бесконечномерном топологическом векторном пространстве внутренность всякого выпуклого множества относительно его аффинной оболочки не пуста? (в индуцированной топологии)

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
вероятно, в конечномерном пространстве имеется ввиду топология произведения прямых
а в бесконечномерном какая топология?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 00:46 


16/01/14
73
alcoholist
Извиняюсь, имел в виду векторную топологию

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 01:14 
Аватара пользователя


31/03/13
25
Grabovskiy, в бесконечномерных пространствах бывают весьма разные векторные топологии. В общем случае ваше утверждение неверно, в любом бесконечномерном нормированном пространстве легко построить пример "плохого" выпуклого множества, у которого аффинная оболочка — всё пространство, а внутренность — пуста (порасмыслите сами, как можно использовать норму). Однако, если взять в линейном пространстве самую сильную локально выпуклую топологию (в Колмогорове–Фомине она называлась ядерно-выпуклой, см. упражнения к § III.5.2), то для такой специальной топологии ваше утверждение выполняться, думаю, будет.

(Оффтоп)

Интересно, не характеризует ли наше свойство данную топологию полностью (ну скажем, рассматриваем только хаусдорфовые)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 11:45 


26/09/14
31
quartermind в сообщении #1096635 писал(а):
Однако, если взять в линейном пространстве самую сильную локально выпуклую топологию (в Колмогорове–Фомине она называлась ядерно-выпуклой, см. упражнения к § III.5.2), то для такой специальной топологии ваше утверждение выполняться, думаю, будет.

Это тоже неправда. Возьмем в бесконечномерном пространстве выпуклую оболочку множества $\{0\} \cup \{e_i: i \in I\}$, где $e_i$ - базисные вектора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 16:48 
Аватара пользователя


31/03/13
25
red_alert, действительно, я чего-то вообще сначала подумал, что в такого вида множествах будет целая окрестность нуля. :facepalm:
Вопрос к Grabovskiy: следует ли отсюда, что ваше утверждение не имеет места вообще ни в каком бесконечномерном пространстве?

(Спойлер)

Конечно, из определения ядерно-выпуклой топологии получается, что оно будет выполнено для выпуклых множеств, симметричных относительно нуля, и только в этой топологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 17:55 


16/01/14
73
Спасибо за ответы! Как работает контрпример в сильнейшей локально выпуклой топологии я не понял, но можно сделать то же самое в, например, $l_2$.
Положим $M := \text{co}(\{0\}\cup\{e_n : n \in \mathbb{N}\})  $ и рассмотрим пространство $ L:= \text{л.о.}M \subsetneq l_2 $. Предположим, что $x \in M$ есть внутренняя точка множества $M$. Тогда $x$ представим в виде выпуклой комбинации $x = \sum_{k=1}^n \alpha_k e_k$ и $B_\varepsilon (x) \subset M$ для некоторого $\varepsilon > 0$. Рассмотрим элемент $y:=\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k + \delta e_{n+1}$, где $0 < \delta < \varepsilon$. Тогда
$\|x - y\| = \delta  < \varepsilon$
т.е. $y \in B_\varepsilon (x)$. Но $y$ не является выпуклой комбинацией элементов из $M$, а потому $y \notin M$. Противоречие.

quartermind в сообщении #1096766 писал(а):
red_alert,
Вопрос к Grabovskiy: следует ли отсюда, что ваше утверждение не имеет места вообще ни в каком бесконечномерном пространстве?


Антидискретное пространство тоже локально выпукло, в нем утверждение выполнено. Да, в Колмогорове, Фомине на ядерно-выпуклую топологию накладывается хаусдорфовость, но это необязательно. Возможно, что утверждение неверно для всех хаусдорфовых локально выпуклых твп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внутренность в аффинной оболочке
Сообщение04.02.2016, 18:38 
Аватара пользователя


31/03/13
25
Grabovskiy, я подразумевал хаусдорфовость, антидискретное ТВП — почти что нульмерное. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group