Спасибо за ответы! Как работает контрпример в сильнейшей локально выпуклой топологии я не понял, но можно сделать то же самое в, например,

.
Положим

и рассмотрим пространство

. Предположим, что

есть внутренняя точка множества

. Тогда

представим в виде выпуклой комбинации

и

для некоторого

. Рассмотрим элемент

, где

. Тогда

т.е.

. Но

не является выпуклой комбинацией элементов из

, а потому

. Противоречие.
red_alert,
Вопрос к Grabovskiy: следует ли отсюда, что ваше утверждение не имеет места вообще ни в каком бесконечномерном пространстве?
Антидискретное пространство тоже локально выпукло, в нем утверждение выполнено. Да, в Колмогорове, Фомине на ядерно-выпуклую топологию накладывается хаусдорфовость, но это необязательно. Возможно, что утверждение неверно для всех хаусдорфовых локально выпуклых твп.