Составление уравнения в частных производных

[prof.uskov]

Имеется система состоящая из $n$ одинаковых линейных элементов соединенных последовательно.


Каждый элемент описывается линейным дифференциальным уравнением и задается с использованием преобразования Лапласа передаточной функцией $W(p)$, связывающей выход и вход
$F_{i+1}(p) = W(p)F_{i}(p)$. (1)
Постоянная времени $T$ – параметр передаточных функций $W(p)$, определяющий время протекания процессов в звене.
Постоянная времени $T$ и число звеньев $n$ связано соотношением
$nT=1$. (2)
Вместо номера сигнала $i$ можно использовать его расстояние от левого края системы:
$x(i)=i/n= i\Delta x$ , где $\Delta x=1/n$. (3)
В пределе при увеличении числа звеньев $ n\rightarrow\infty$ состояние системы будет описываться уравнением в частных производных (УЧП), решение которого - функция $f(t, x)$.
Требуется:
1. Зная $W(p)$ определить УЧП.
2. Зная УЧП определить $W(p)$.

Подход к решению.
Для определенности предположим, что $W(p)=1/(1+pT)$, тогда
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{F(p)/(1+pT)-F(p)}{\Delta x}$ (4)
С учетом (2) и (3) при $ n\rightarrow\infty$ получим:
$\frac{\partial f}{\partial x}=-F(p)-pF(p)$ (5)
Переходя к оригиналам приходим к УЧП:
$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+f=0$ (6)

Вопросы:
Верен ли результат (6)? Если неверен, то как решить?
Как зная УЧП найти передаточные функции элементов $W(p)$?

[Vince Diesel]

Правильно ли я понимаю, что $F(p)=F_\infty(p)$? Если да, то получаем $F_n(p)=W^n(p/n)F_0(p)$ и содержательный ответ получается при $W(p)=1+ap+o(p)$, $p\to0$. В этом случае $F(p)=\lim_{n\to\infty}W^n(p/n)F_0(p)=e^{ap}F_0(p)$.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096553 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $F(p)=F_\infty(p)$? Если да, то получаем $F_n(p)=W^n(p/n)F_0(p)$ и содержательный ответ получается при $W(p)=1+ap+o(p)$, $p\to0$. В этом случае $F(p)=\lim_{n\to\infty}W^n(p/n)F_0(p)=e^{ap}F_0(p)$.

Нет, $F(p)$ - это преобразование Лапласа от $f(t)$ в точке $x$.

[Vince Diesel]

Ну тогда аналогично тому, что написано выше $f(x,p)=e^{apx}F_0(p)$. Обратное преобразование даст $f(x,t)=f_0(t+ax)$. Правая часть удовлетворяет уравнению $f_x-af_t=0$. C вашим не сходится, поскольку вроде (устно прикинул) в (4) не будет последнего члена в правой части.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096553 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $F(p)=F_\infty(p)$? Если да, то получаем $F_n(p)=W^n(p/n)F_0(p)$ и содержательный ответ получается при $W(p)=1+ap+o(p)$, $p\to0$. В этом случае $F(p)=\lim_{n\to\infty}W^n(p/n)F_0(p)=e^{ap}F_0(p)$.

$W(p)=1+ap$ - физически нереализуемое форсирующее звено. Физически реализуемый результат получается как раз при $W(p)=1/(1+Tp)$ - инерционное звено, тогда общая передаточная функция $W_\infty(p)=e^{-Tp}$ - звено запаздывания.
Но интересует именно не вход-выход, а как оно там внутри себя ведет, а для этого нужно УЧП.

[Vince Diesel]

prof.uskov в сообщении #1096565 писал(а):

$W(p)=1+ap$ - физически нереализуемое форсирующее звено. Физически реализуемый результат получается как раз при $W(p)=1/(1+Tp)$ -

Это функция до замены. Как написано выше, подставляется $W(p/n)$. Вашему примеру соответствует случай $W(p)=1/(1+p)$.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096564 писал(а):

Ну тогда аналогично тому, что написано выше $f(x,p)=e^{apx}F_0(p)$. Обратное преобразование даст $f(x,t)=f_0(t+ax)$. Правая часть удовлетворяет уравнению $f_x-af_t=0$. C вашим не сходится, поскольку вроде (устно прикинул) в (4) не будет последнего члена в правой части.

Формула (4) не верна? Не совсем понял.

[Vince Diesel]

Упс. Имелось в виду (5).

[prof.uskov]

prof.uskov в сообщении #1096568 писал(а):

Vince Diesel в сообщении #1096564 писал(а):

Ну тогда аналогично тому, что написано выше $f(x,p)=e^{apx}F_0(p)$. Обратное преобразование даст $f(x,t)=f_0(t+ax)$. Правая часть удовлетворяет уравнению $f_x-af_t=0$. C вашим не сходится, поскольку вроде (устно прикинул) в (4) не будет последнего члена в правой части.

Формула (4) не верна? Не совсем понял.

Vince Diesel в сообщении #1096569 писал(а):

Упс. Имелось в виду (5).

В (5) последний член в правой части - это производная по времени.

[Vince Diesel]

Если положить в (5) $\Delta x=T=1/n$ и устремить $n$ к бесконечности, останется только один член.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096574 писал(а):

Если положить в (5) $\Delta x=T=1/n$ и устремить $n$ к бесконечности, останется только один член.

Да, спасибо, действительно ошибся, должно быть

$\frac{\partial f}{\partial x}=-pF(p)$ (5)
и
$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$ (6)

А как решить обратную задачу, на основе УЧП найти передаточную функцию звена?

[Vince Diesel]

Смотря что за УРЧП. Из этого

Vince Diesel в сообщении #1096564 писал(а):

$f_x-af_t=0$

видно, что задача не решается однозначно, можно определить только $a=W'(0)$. Ситуация похожа на ЦПТ, где только второй момент фигурирует в передельном распределении. Старшие члены разложения в ряд не важны, ответ от них не зависит.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096583 писал(а):

Смотря что за УРЧП. Из этого

Vince Diesel в сообщении #1096564 писал(а):

$f_x-af_t=0$

видно, что задача не решается однозначно, можно определить только $a=W'(0)$. Ситуация похожа на ЦПТ, где только второй момент фигурирует в передельном распределении. Старшие члены разложения в ряд не важны, ответ от них не зависит.

А что нужно сделать чтобы задача решалась однозначно? Нулевые начальные условия, ведь передаточная функция звена определяется именно при них?

-- 03.02.2016, 22:37 --

Вот хотелось бы такие звенья найти для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения.

[Vince Diesel]

В этом модели никак. Тут

Vince Diesel в сообщении #1096564 писал(а):

$f(x,p)=e^{apx}F_0(p)$

уже от $W$ ничего не остается кроме $a$.

-- Ср фев 03, 2016 21:59:39 --

Чтобы получить вторую производную по $t$ можно рассмотреть уравнение $F_n(p)=W^n(p^2/n)F_0(p)$. Ну или еще можно так переписать $F_n(p)=W^n(p/\sqrt n)F_0(p)$.

[prof.uskov]

Vince Diesel в сообщении #1096588 писал(а):

Чтобы получить вторую производную по $t$ можно рассмотреть уравнение $F_n(p)=W^n(p^2/n)F_0(p)$. Ну или еще можно так переписать $F_n(p)=W^n(p/\sqrt n)F_0(p)$.

Не, вот как для длинной линии волновое уравнение получается (со второй производной и по времени и по координате), там бесконечно много элементарных колебательных звеньев на основе бесконечно малых емкостей, индуктивностей и сопротивлений.