Проверить идеал на простоту

[Rock`n`Rolla]

Доброго времени суток!

Я очень хочу проверить, является ли идеал $(x^3+3x^2+4x+2, x^2-1)$ в $\mathbb{Z}[x]$ простым. Для этого я попытался выяснить, как выглядят многочлены в этом идеале, но смог выяснить только то, что они делятся на $(x+1)$, но этого недостаточно. Где-то на этом форуме нагуглилось, что подобного вида идеал порождается НОДом $(x^3+3x^2+4x+2, x^2-1)$ этих многочленов, но я в этом сильно сомневаюсь (как минимум потому, что коэффициенты многочленов не из поля вещественных чисел), а больше ничего не в голову не приходит. Как быть, с чего начать, чем пользоваться?

P.S. Хочется свести к такому определению простоты: либо показать, что $\exists a(x), b(x) \in \mathbb{Z}[x]$, что $a(x) \cdot b(x) \in I$, при этом

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a(x) \notin I\\ b(x) \notin I \\ \end{array} \right.$$

либо показать, что $\forall a(x), b(x) \in \mathbb{Z}[x]$, т.ч. $a(x) \cdot b(x) \in I $ выполняется $a(x) \in I \vee b(x) \in I $

[AV_77]

Начать именно с НОД многочленов (над $\mathbb{Z}$), посмотреть что получится.

[Rock`n`Rolla]

У меня родилась мысль, прошу проверить на адекватность: проверим $x-1$ на принадлежность идеалу.
Предположим, что можно $x-1$ представить как элемент идеала:
$x-1 = (x+1) \cdot (x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x+1) \cdot (x-1) \cdot b(x)$
Дальше я сокращаю на $x-1$, назову $a(x)/(x-1) = a'(x)$ - какой-то новый многочлен.
$1=(x+1) \cdot (x^2+2x+2) \cdot a'(x)+(x+1) \cdot b(x)$
Пусть $x=-1$
Тогда в левой части равенства остается 1, а справа получается 0.
Из этого я заключаю, что $x-1$ не принадлежит идеалу.
Теперь проверим $x+1$ на принадлежность идеалу.
Опять представим исследуемый многочлен как элемент идеала и посмотрим, что из этого выйдет:
$x+1=(x+1) \cdot (x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x+1) \cdot (x-1) \cdot b(x)$
Сокращаем на $x+1$
$1=(x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x-1) \cdot b(x)$
Попробуем найти НОД через алгоритм Евклида для $x^2+2x+2$ и $x-1$
Они, конечно, взаимно простые, но сейчас этого недостаточно - у нас НОД определяется с точностью домножения на константу, но не на любую, т.к. коэффициенты - целые числа.
$x^2+2x+2=(x-1) \cdot (x+3)+5$
То есть мы не можем найти $a(x)$ и $b(x)$ в целых числах, чтобы $1=(x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x-1) \cdot b(x)$
Посему я хочу заключить, что $x+1$ также не лежит в идеале.
А вот произведение $(x+1) \cdot (x-1)=x^2-1$ лежит, это очевидно.
Следовательно, идеал непростой.

[Brukvalub]

Так есть же теорема о строении всех простых идеалов кольца многочленов с вещ. коэффициентами, почему бы не оттолкнуться от этой теоремы?

[Rock`n`Rolla]

К сожалению, мне эта теорема не известна, а гугл молчит. Не подскажете формулировку?

И, кстати говоря, можно ли использовать эту теорему в этом случае? Коэффициенты здесь должны быть целые.

[Brukvalub]

Rock`n`Rolla в сообщении #1096295 писал(а):

гугл молчит

Как это - молчит?

[Rock`n`Rolla]

Я не нашел эту теорему)

[Brukvalub]

Rock`n`Rolla в сообщении #1096295 писал(а):

Коэффициенты здесь должны быть целые.

Слона-то я и не приметил! Снимаю свое предложение.