2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверить идеал на простоту
Сообщение02.02.2016, 20:13 


20/03/11

82
Доброго времени суток!

Я очень хочу проверить, является ли идеал $(x^3+3x^2+4x+2, x^2-1)$ в $\mathbb{Z}[x]$ простым. Для этого я попытался выяснить, как выглядят многочлены в этом идеале, но смог выяснить только то, что они делятся на $(x+1)$, но этого недостаточно. Где-то на этом форуме нагуглилось, что подобного вида идеал порождается НОДом $(x^3+3x^2+4x+2, x^2-1)$ этих многочленов, но я в этом сильно сомневаюсь (как минимум потому, что коэффициенты многочленов не из поля вещественных чисел), а больше ничего не в голову не приходит. Как быть, с чего начать, чем пользоваться?

P.S. Хочется свести к такому определению простоты: либо показать, что $\exists a(x), b(x) \in \mathbb{Z}[x]$, что $a(x) \cdot b(x) \in I$, при этом $$\left\{
\begin{array}{rcl}
 a(x) \notin I\\
 b(x) \notin I \\
\end{array}
\right.$$
либо показать, что $\forall a(x), b(x) \in \mathbb{Z}[x]$, т.ч. $a(x) \cdot b(x) \in I $ выполняется $a(x) \in I \vee b(x) \in I $

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить идеал на простоту
Сообщение02.02.2016, 22:31 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Начать именно с НОД многочленов (над $\mathbb{Z}$), посмотреть что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить идеал на простоту
Сообщение02.02.2016, 23:12 


20/03/11

82
У меня родилась мысль, прошу проверить на адекватность: проверим $x-1$ на принадлежность идеалу.
Предположим, что можно $x-1$ представить как элемент идеала:
$x-1 = (x+1) \cdot (x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x+1) \cdot (x-1) \cdot b(x)$
Дальше я сокращаю на $x-1$, назову $a(x)/(x-1) = a'(x)$ - какой-то новый многочлен.
$1=(x+1) \cdot (x^2+2x+2) \cdot a'(x)+(x+1) \cdot b(x)$
Пусть $x=-1$
Тогда в левой части равенства остается 1, а справа получается 0.
Из этого я заключаю, что $x-1$ не принадлежит идеалу.
Теперь проверим $x+1$ на принадлежность идеалу.
Опять представим исследуемый многочлен как элемент идеала и посмотрим, что из этого выйдет:
$x+1=(x+1) \cdot (x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x+1) \cdot (x-1) \cdot b(x)$
Сокращаем на $x+1$
$1=(x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x-1) \cdot b(x)$
Попробуем найти НОД через алгоритм Евклида для $x^2+2x+2$ и $x-1$
Они, конечно, взаимно простые, но сейчас этого недостаточно - у нас НОД определяется с точностью домножения на константу, но не на любую, т.к. коэффициенты - целые числа.
$x^2+2x+2=(x-1) \cdot (x+3)+5$
То есть мы не можем найти $a(x)$ и $b(x)$ в целых числах, чтобы $1=(x^2+2x+2) \cdot a(x)+(x-1) \cdot b(x)$
Посему я хочу заключить, что $x+1$ также не лежит в идеале.
А вот произведение $(x+1) \cdot (x-1)=x^2-1$ лежит, это очевидно.
Следовательно, идеал непростой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить идеал на простоту
Сообщение03.02.2016, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Так есть же теорема о строении всех простых идеалов кольца многочленов с вещ. коэффициентами, почему бы не оттолкнуться от этой теоремы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить идеал на простоту
Сообщение03.02.2016, 00:46 


20/03/11

82
К сожалению, мне эта теорема не известна, а гугл молчит. Не подскажете формулировку?

И, кстати говоря, можно ли использовать эту теорему в этом случае? Коэффициенты здесь должны быть целые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить идеал на простоту
Сообщение03.02.2016, 00:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Rock`n`Rolla в сообщении #1096295 писал(а):
гугл молчит

Как это - молчит? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить идеал на простоту
Сообщение03.02.2016, 00:58 


20/03/11

82
Я не нашел эту теорему)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить идеал на простоту
Сообщение03.02.2016, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Rock`n`Rolla в сообщении #1096295 писал(а):
Коэффициенты здесь должны быть целые.

Слона-то я и не приметил! :oops: Снимаю свое предложение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group