2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Условное неравенство от двух переменных
Сообщение25.01.2016, 19:16 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $x>0$ и $y>0$ такие, что $x^2+y^2=2$. Докажите, что $x^{4y}+y^{4x}\leq2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение26.01.2016, 23:33 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Издеваетесь, да?
При естественной параметризации окружности, около точки (1,1), экстремизуемая функция отличается от 2 на член четвертой степени (в нужную сторону, впрочем). Не могу представить себе методу оценок Вашей гадкой функции, дающую нужную точность...
ЗЫ Зато я могу доказать ваше неравенство в случае, когда 4 равно двум :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение29.01.2016, 07:58 


25/08/11

1074
arqady-подскажите немного. Пусть выбран предложенный DeBill-ом подход через параметризацию, получили неравенство по одной переменной $t$. Оно решается тригонометрией с элементарными методами, или нужно применять всерьёз Анализ, множители Лагранжа и тд.
Интересные у Вас всегда неравенства, жаль, что мозгов для их решения мне часто не хватает, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение29.01.2016, 08:58 


03/03/12
1380
Да, интересное неравенство. У меня получается, что для области $x^yy^x\ge1$ оно доказывается полуустно. Остаётся выяснить справедливость неравенства в области $x^yy^x<1$. Дальше идей нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение31.01.2016, 14:37 


03/03/12
1380
Запишем известное неравенство

$x^xy^y\ge(\frac{x^2+y^2}{2})^{\frac{x+y}{2}}$

$x^2+y^2\le2(x^xy^y)^{\frac{2}{x+y}}$

$x^xy^y\ge1$

С другой стороны мы рассматриваем условие

$x^yy^x\ge1$

В данной области определения оно всюду ложное. (Это сложное доказательство; можно доказать и другим полуустным способом.) Следовательно достаточно рассмотреть случай $x^yy^x\le1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 12:13 


25/08/11

1074
при $x=0.97$ получается однако $1.99999$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 12:32 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
sergei1961
Ага, там всё близко. После полярной параметризации и замены $\psi=\frac{\pi}{4}-\varphi$ ($\varphi$ достаточно рассматривать от $0$ до $\frac{\pi}{4}$) вот такой график получается. (И функция после такой замены, кстати, выглядит приятней)
TR63
Что-то ваше неравенство не сильно сужает область.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 13:41 


25/08/11

1074
NSKuber-на Вашем графике видна и идея доказательства-монотонное убывание. Не вижу, как подступиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 13:49 
Аватара пользователя


18/01/16
627
arqady
а что если попробовать так:
Имеем:
$x^2+y^2=2. x>0, y>0$
Доказать:
$x^{4y}+y^{4x}\leq2$.
Так как $x^2+y^2=1$, то можно сказать, что или $x=y=1$ или $x^2>1\Rightarrow x>1;y^2<1\Rightarrow y<1$ или наоборот, соответственно $y^2>1\Rightarrow y>1; x^2<1\Rightarrow x<1$
Тогда:
0)В случае $x=y=1$ неравенство, очевидно, справедливо.
1)Пусть $x<\dfrac{1}{2}$, докажем что:
$x^{4y}+y^{4x}\leq2\sim (x^2)^{2y}+(y^2)^{2x}\leq x^2+y^2$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\\x^2>(x^2)^{2y}
 \\y^2>(y^2)^{2x}
\end{array}
\right.$$
2)Первое равенство системы справедливо, т.к. $f(x)=a^x; a<1;x>0$ – убывающая
3)Второе – в силу того, что $f(x)=a^x; a>1;x>0$ – возрастающая
4)Пусть теперь $x\in(\dfrac{1}{2};1)$
5)$x^{4y}+y^{4x}\leq2 \sim y^{4x}-y^2\leqslant x^2-x^{4y} \sim (y^{2x}-y)(y^{2x}+г
y)\leqslant (x-x^{2y})(x+x^{2y})$
$\dfrac{y^{2x}-y}{x-x^{2y}}\leqslant \dfrac{x+x^{2y}}{y^{2x}+y}$
6)$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \\x-x^{2y}>0
 \\ \dfrac{x+x^{2y}}{y^{2x}+y}>0
\end{array}
\right.$$
7)Т.к.$x\in(\dfrac{1}{2};1)$, то $\dfrac{y^{2x}-y}{x-x^{2y}}< 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 13:59 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
stedent076 в сообщении #1095799 писал(а):
4)Пусть теперь $x\in(\dfrac{1}{2};1)$
Тогда очевидно что:
$x^{4y}+y^{4x}<x^2+y^2$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\\ x^{4y}<x^2
\\y^{4x}<y^2
\end{array}
\right.$$

Мало того, что не очевидно, так ещё и неверно: при $x\in\left(\dfrac{1}{2};1\right)$ игрек больше единицы, соответственно $y^{4x}>y^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 14:11 
Аватара пользователя


18/01/16
627
NSKuber
исправил

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 14:16 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
stedent076 в сообщении #1095799 писал(а):
$\dfrac{y^{2x}-y}{x-x^{2y}}< 0$

Опять не угадали, при $x\in\left(\dfrac{1}{2};1\right)$ игрек больше единицы, соответственно $y^{2x}>y$, $x>x^{2y}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение01.02.2016, 21:00 


03/03/12
1380
Рассмотрим случай, когда $x^yy^x=1$

$x^2+y^2=2$

$(x^y+y^x)^2\le (x+y)^2$

$x^{2y}+2x^yy^x+y^{2x}\le2xy+2$

$x^{2y}+y^{2x}\le2xy\le2$

$x^{4y}+y^{4x}+2x^{2y}y^{2x}\le2+2$

$x^{4y}+y^{4x}\le2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение02.02.2016, 06:43 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
TR63
Вы смотрели мою ссылку? $x^y y^x=1$ пересекается с окружностью ограничений в одной точке - $(1,1)$ (это можно и аналитически доказать). Выполнение неравенства в этой точке сомнению не подлежит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условное неравенство от двух переменных
Сообщение02.02.2016, 08:05 


03/03/12
1380
NSKuber, ссылку видела. Просто, не считаю графические доказательства доказательствами.

NSKuber в сообщении #1096023 писал(а):
это можно и аналитически доказать).

Вот, и доказала частный случай аналитически. У Вас есть более прозрачное аналитическое доказательство? Хотелось бы взглянуть. Но, возможно, я его не заметила и привела своё. В чём криминал?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group