Условное неравенство от двух переменных

[arqady]

Пусть $x>0$ и $y>0$ такие, что $x^2+y^2=2$. Докажите, что $x^{4y}+y^{4x}\leq2$.

[DeBill]

Издеваетесь, да?
При естественной параметризации окружности, около точки (1,1), экстремизуемая функция отличается от 2 на член четвертой степени (в нужную сторону, впрочем). Не могу представить себе методу оценок Вашей гадкой функции, дающую нужную точность...
ЗЫ Зато я могу доказать ваше неравенство в случае, когда 4 равно двум

[sergei1961]

arqady-подскажите немного. Пусть выбран предложенный DeBill-ом подход через параметризацию, получили неравенство по одной переменной $t$. Оно решается тригонометрией с элементарными методами, или нужно применять всерьёз Анализ, множители Лагранжа и тд.
Интересные у Вас всегда неравенства, жаль, что мозгов для их решения мне часто не хватает, спасибо.

[TR63]

Да, интересное неравенство. У меня получается, что для области $x^yy^x\ge1$ оно доказывается полуустно. Остаётся выяснить справедливость неравенства в области $x^yy^x<1$. Дальше идей нет.

[TR63]

Запишем известное неравенство

$x^xy^y\ge(\frac{x^2+y^2}{2})^{\frac{x+y}{2}}$

$x^2+y^2\le2(x^xy^y)^{\frac{2}{x+y}}$

$x^xy^y\ge1$

С другой стороны мы рассматриваем условие

$x^yy^x\ge1$

В данной области определения оно всюду ложное. (Это сложное доказательство; можно доказать и другим полуустным способом.) Следовательно достаточно рассмотреть случай $x^yy^x\le1$.

[sergei1961]

при $x=0.97$ получается однако $1.99999$

[NSKuber]

sergei1961
Ага, там всё близко. После полярной параметризации и замены $\psi=\frac{\pi}{4}-\varphi$ ($\varphi$ достаточно рассматривать от $0$ до $\frac{\pi}{4}$) вот такой график получается. (И функция после такой замены, кстати, выглядит приятней)
TR63
Что-то ваше неравенство не сильно сужает область.

[sergei1961]

NSKuber-на Вашем графике видна и идея доказательства-монотонное убывание. Не вижу, как подступиться.

[stedent076]

arqady
а что если попробовать так:
Имеем:
$x^2+y^2=2. x>0, y>0$
Доказать:
$x^{4y}+y^{4x}\leq2$.
Так как $x^2+y^2=1$, то можно сказать, что или $x=y=1$ или $x^2>1\Rightarrow x>1;y^2<1\Rightarrow y<1$ или наоборот, соответственно $y^2>1\Rightarrow y>1; x^2<1\Rightarrow x<1$
Тогда:
0)В случае $x=y=1$ неравенство, очевидно, справедливо.
1)Пусть $x<\dfrac{1}{2}$, докажем что:
$x^{4y}+y^{4x}\leq2\sim (x^2)^{2y}+(y^2)^{2x}\leq x^2+y^2$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \\x^2>(x^2)^{2y} \\y^2>(y^2)^{2x} \end{array} \right.$$

2)Первое равенство системы справедливо, т.к. $f(x)=a^x; a<1;x>0$ – убывающая
3)Второе – в силу того, что $f(x)=a^x; a>1;x>0$ – возрастающая
4)Пусть теперь $x\in(\dfrac{1}{2};1)$
5)$x^{4y}+y^{4x}\leq2 \sim y^{4x}-y^2\leqslant x^2-x^{4y} \sim (y^{2x}-y)(y^{2x}+г y)\leqslant (x-x^{2y})(x+x^{2y})$
$\dfrac{y^{2x}-y}{x-x^{2y}}\leqslant \dfrac{x+x^{2y}}{y^{2x}+y}$
6)

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \\x-x^{2y}>0 \\ \dfrac{x+x^{2y}}{y^{2x}+y}>0 \end{array} \right.$$

7)Т.к.$x\in(\dfrac{1}{2};1)$, то $\dfrac{y^{2x}-y}{x-x^{2y}}< 0$

[NSKuber]

stedent076 в сообщении #1095799 писал(а):

4)Пусть теперь $x\in(\dfrac{1}{2};1)$
Тогда очевидно что:
$x^{4y}+y^{4x}<x^2+y^2$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \\ x^{4y}<x^2 \\y^{4x}<y^2 \end{array} \right.$$

Мало того, что не очевидно, так ещё и неверно: при $x\in\left(\dfrac{1}{2};1\right)$ игрек больше единицы, соответственно $y^{4x}>y^2$.

[stedent076]

NSKuber
исправил

[NSKuber]

stedent076 в сообщении #1095799 писал(а):

$\dfrac{y^{2x}-y}{x-x^{2y}}< 0$

Опять не угадали, при $x\in\left(\dfrac{1}{2};1\right)$ игрек больше единицы, соответственно $y^{2x}>y$, $x>x^{2y}$.

[TR63]

Рассмотрим случай, когда $x^yy^x=1$

$x^2+y^2=2$

$(x^y+y^x)^2\le (x+y)^2$

$x^{2y}+2x^yy^x+y^{2x}\le2xy+2$

$x^{2y}+y^{2x}\le2xy\le2$

$x^{4y}+y^{4x}+2x^{2y}y^{2x}\le2+2$

$x^{4y}+y^{4x}\le2$

[NSKuber]

TR63
Вы смотрели мою ссылку? $x^y y^x=1$ пересекается с окружностью ограничений в одной точке - $(1,1)$ (это можно и аналитически доказать). Выполнение неравенства в этой точке сомнению не подлежит.

[TR63]

NSKuber, ссылку видела. Просто, не считаю графические доказательства доказательствами.

NSKuber в сообщении #1096023 писал(а):

это можно и аналитически доказать).

Вот, и доказала частный случай аналитически. У Вас есть более прозрачное аналитическое доказательство? Хотелось бы взглянуть. Но, возможно, я его не заметила и привела своё. В чём криминал?