Взлетающий шарик

[stedent076]

Проверьте, пожалуйста, решение задачи.

На дне цилиндра, заполненного воздухом при нормальных условиях, лежит шарик радиуса $r=2$см массой $m=5$г.
Во сколько раз нужно увеличить давление воздуха, чтобы шарик мог взлететь? Воздух считать идеальным газом, его температура поддерживается постоянной.
Решение:
0) При н.у. $P_1=10^5$ Па.
1)Условие взлета шарика:
$\rho Vg=mg$ или $\rho V=m$
2)$\rho=\dfrac{P_2M}{RT}$
3)$P_2=\dfrac{3RTm}{4M\pi r^3}$
4) $\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{3RTm}{4M\pi r^310^5}=12,5$

Pphantom:

Изменил название темы на менее банальное, чем предыдущее (теперь это первое предложение).

[Pphantom]

Нет, неверно.

Ну и пара замечаний:
1) Зачем Вам нужно возиться с давлениями, если критерий взлета тривиален - плотность шарика должна стать меньше плотности воздуха?
2) Решение - это не набор формул без пояснений. Это пояснения, сопровождаемые, если нужно, формулами.

[Mihr]

Pphantom в сообщении #1095871 писал(а):

Нет, неверно.

Символьное решение всё-таки верно. Ошибка у ТС лишь где-то в арифметике.

[Pphantom]

Mihr в сообщении #1095874 писал(а):

Символьное решение всё-таки верно. Ошибка у ТС лишь где-то в арифметике.

Именно поэтому и появилась моя вторая претензия. Все будет выглядеть нормально, если я сам догадаюсь, какая буква что обозначает, а это неправильно.

[stedent076]

Mihr
А нормальные условия это "атмосферные условия по ГОСТ 2939—63" или "Стандартные условия ИЮПАК"?

Pphantom
0) При н.у. $P_1=10^5$ Па.
1)Условие взлета шарика:
$\rho Vg=mg$ или $\rho V=m$( выталкивающая сила равна силе тяжести)
2)$\rho=\dfrac{P_2M}{RT}$ (находим плотность воздуха из уравнения Менделеева-Клайперона для идеального газа)
3)$P_2=\dfrac{3RTm}{4M\pi r^3}$( подставляем значение из пункта 2) в условие взлета шарика, вместе с формулой для объема шарика)
4) $\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{3RTm}{4M\pi r^310^5}=12,5$ (находим отношение первоначального давления к тому, которое необходимо для взлета шарика)

[Munin]

Pphantom в сообщении #1095875 писал(а):

Все будет выглядеть нормально, если я сам догадаюсь, какая буква что обозначает, а это неправильно.

Ну а в чём проблема догадаться-то? Очевидно, что $M$ и $R$ - масса и радиус Земли, а $T,$ наверное, период её обращения вокруг Солнца...

[Mihr]

stedent076 в сообщении #1095876 писал(а):

Mihr
А нормальные условия это "атмосферные условия по ГОСТ 2939—63" или "Стандартные условия ИЮПАК"?

Понятия не имею Со школьных лет запомнилось: нормальные условия - это давление в одну атмосферу и ноль градусов по Цельсию. До сих пор этой "расшифровки" мне было достаточно.

[Pphantom]

stedent076 в сообщении #1095876 писал(а):

А нормальные условия это "атмосферные условия по ГОСТ 2939—63" или "Стандартные условия ИЮПАК"?

А Вам это важно?

Так уже лучше, но обозначения тоже неплохо было бы расшифровывать. Заодно мы бы узнали, какие числа Вы подставляете в решение и, возможно, нашли бы источник ошибки.

-- 01.02.2016, 19:15 --

Munin в сообщении #1095882 писал(а):

Ну а в чём проблема догадаться-то? Очевидно, что $M$ и $R$ - масса и радиус Земли, а $T,$ наверное, период её обращения вокруг Солнца...

Ну так мы вроде решение проверяем, а не старательно пытаемся его понять.

[Munin]

Pphantom в сообщении #1095887 писал(а):

Ну так мы вроде решение проверяем, а не старательно пытаемся его понять. :D

Боюсь, эти две вещи неразделимы...

[Pphantom]

Munin в сообщении #1095890 писал(а):

Боюсь, эти две вещи неразделимы...

Не на этой стадии. В общем-то это совершенно серьезно: при проверке какой-нибудь школьной/студенческой работы за такое решение я, не вдаваясь в его содержание, поставлю 0 (или "двойку, или что-то аналогичное).

[Munin]

Если серьёзно.

Глядя на эту задачу, я жалею, что в школе всех учат стандарту "сначала решить задачу полностью в буквенном виде, потом подставить все числа". Здесь как раз удобно было бы от него отступить:
1. Подсчитать плотность шарика в числах. Это просто, наглядно, легко проверить на арифметическую ошибку по смыслу.
2. Потом уже подставить это в формулу для плотности воздуха.

Кстати, грубое значение плотности воздуха ($1{,}3\text{ кг}/\text{м}^3$ при н. у.) хорошо бы помнить наизусть. Хотя бы просто порядок ($\sim 1\text{ кг}/\text{м}^3$) - уже это позволяет сделать много полезных оценок. (Например, на какой глубине плотность пузырька воздуха сравняется с плотностью окружающей воды, и есть ли в Мировом океане такие глубины.)

-- 01.02.2016 19:27:57 --

Pphantom в сообщении #1095891 писал(а):

В общем-то это совершенно серьезно: при проверке какой-нибудь школьной/студенческой работы за такое решение я, не вдаваясь в его содержание, поставлю 0 (или "двойку", или что-то аналогичное).

Это если школьники/студенты знакомы уже с вашими стандартами и требованиями. А то, увы, для школы это типичный уровень оформления работы. (Может, на экзамен и олимпиаду пишут и лучше, но на рядовую контрольную - примерно так.)

[Pphantom]

Munin в сообщении #1095894 писал(а):

Глядя на эту задачу, я жалею, что в школе всех учат стандарту "сначала решить задачу полностью в буквенном виде, потом подставить все числа". Здесь как раз удобно было бы от него отступить:

Именно.

Munin в сообщении #1095894 писал(а):

Кстати, грубое значение плотности воздуха ($1{,}3\text{ г}/\text{см}^3$ при н. у.) хорошо бы помнить наизусть. Хотя бы просто порядок ($\sim 1\text{ г}/\text{см}^3$)

Только не в таком виде.

А так, да, все тривиально. Объем шарика мало отличается от объема кубика со стороной 4 см, стало быть, плотность шарика - порядка $5/64 \sim 0.1\text{~г/см}^3$. Плотность воздуха на два порядка меньше, следовательно, ее надо увеличить на те же два порядка, для чего поднять давление в такое же число раз. Все, ответ $12.5$ заведомо неверен.

-- 01.02.2016, 19:31 --

Munin в сообщении #1095894 писал(а):

Это если школьники/студенты знакомы уже с вашими стандартами и требованиями. А то, увы, для школы это типичный уровень оформления работы. (Может, на экзамен и олимпиаду пишут и лучше, но на рядовую контрольную - примерно так.)

Типичный - не значит нормальный.

[Munin]

Mihr
"По ГОСТу" температура +20° C, а по IUPAC - 0° C. Эта разница довольно существенна: при "комнатной температуре" плотность воздуха уже $1{,}2\text{ кг}/\text{м}^3.$ Но на ГОСТ можно не обращать внимания: он узко-отраслевой, с ним имеют дело только газовики. Как курьёз, некоторые пользуются даже температурой +25° C, и на это тоже можно не обращать внимания.

-- 01.02.2016 19:37:43 --

Pphantom в сообщении #1095898 писал(а):

Только не в таком виде. :mrgreen:

Ой, поправил. Ну вы понимаете, когда $c=1$ и $\hbar=1,$ то немудрено одно с другим спутать :-)

[stedent076]

Pphantom в сообщении #1095887 писал(а):

stedent076 в сообщении #1095876

писал(а):
А нормальные условия это "атмосферные условия по ГОСТ 2939—63" или "Стандартные условия ИЮПАК"? А Вам это важно?

Важно,т.к. стандартная температура разная, поэтому может быть ошибка.
0) При н.у. $P_1=10^5$ Па.
1)Условие взлета шарика:
$\rho Vg=mg$ или $\rho V=m$, где $V_1$- объем воздуха в цилиндре, $m$-масса шарика.
2)$\rho=\dfrac{P_2M}{RT}; P_2$-давление, необходимое для взлета шарика, его объем $V_2=\dfrac{4}{3}\pi r^3$
3) Подставляя выражения для необходимого давления и объема шарика в формулу, выражающую условие его взлета, получим $P_2=\dfrac{3RTm}{4M\pi r^3}=\dfrac{3\cdot8,31\cdot 293\cdot5\cdot10^{-4}}{4\cdot0.029\cdot 3.14\cdot8\cdot10^6}=1.25\cdot10^6$Па
4) $\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{1.25\cdot10^6}{10^5}=1.25\cdot10=12.5$

[Munin]

Упорно не хочет.

Между прочим, в соседней теме «Задача по термодинамике» тот же автор грешит ровно обратным: подставляет числа слишком рано. В результате чего пишет ужасные выражения, не сходящиеся по размерности.