Сила Лоренца

[Nineor]

Боюсь, я действительно неправильно составил приведенные выше уравнения. Приведу логику своих рассуждений:

1. Поскольку поле магнитной индукции создано бесконечно длинным проводником, то она определяется по формуле: $\vec{B}=\frac{\mu _{0}I}{2\pi r^{2}}[\vec{\tau} \times \vec{r}]$, где
$\vec{\tau}$ - единичный вектор, направленный в направлении тока,
$\vec{r}$ - радиус-вектор точки поля, в которой определяется индукция $\vec{B}$
Тогда векторное произведение можно расписать так:
$\vec{\tau}=\tau_{x}\vec{i}+\tau_{y}\vec{j}+\tau_{z}\vec{k}$
$\vec{r}=r_{x}\vec{i}+r_{y}\vec{j}+r_{z}\vec{k}$
$r^{2}=r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}$
$[\vec{\tau} \times \vec{r}]=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \tau_{x} & \tau_{y} & \tau_{z}\\ x & y & z \end{vmatrix}$
Поскольку ось y направлена против тока, то вектор $\vec{\tau}$ будет равен -1. Тогда определитель будет равен:
$\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 0 & -1 & 0\\ x & y & z \end{vmatrix}=x\vec{k}-z\vec{i}$
Соответственно магнитная индукция будет равна: $\vec{B}=\frac{\mu _{0}I}{2\pi r^{2}}(x\vec{k}-z\vec{i})$, что в проекции на оси координат: $B_{x}=-\frac{\mu _{0}Iz}{2\pi r^{2}}$, $B_{y}=\operatorname{const}$, $B_{z}=\frac{\mu _{0}Ix}{2\pi r^{2}}$.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме $m\vec{a}=q\vec{v}\vec{B}$ и найдем произведение:
$\vec{v} \times \vec{B}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ v_{x} & v_{y} & v_{z}\\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix}$
Так как $v_{z}=0$ и $B_{y}=\operatorname{const}$, то
$\vec{v} \times \vec{B}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ v_{x} & v_{y} & 0\\ B_{x} & \operatorname{const}& B_{z} \end{vmatrix}=B_{z}v_{y}\vec{i}-B_{z}v_{y}\vec{j}+v_{x}(\operatorname{const}-B_{x})\vec{k}$
Тогда в проекции на координатные оси второй закон Ньютона можно записать, как
$\left\{\begin{matrix} m\ddot{x}=\dot{y}B_{z}q \\ m\ddot{y}=-\dot{x}B_{z}q \end{matrix}\right.$
И вот тут у меня проблема - в предыдущем решении я считал, что поскольку тело не двигается вдоль оси z , а магнитная индукция меняется вдоль осей z и x, то радиус будет равен $r^{2}=x^{2}$. Сама же индукция будет равна $B_{z}=\frac{\mu _{0}I}{2\pi x}$ (в предыдущем решении, коэффициентами a и b я обозначал $m$ и $\frac{\mu _{0}I}{2\pi}$ соответственно).
Будет ли это так или нет? Чему тогда равна $B_{z}$?

P.S. В предыдущем решении опечатался и поставил не туда знак "-".

[Nineor]

Напишу небольшое дополнение, потому что истекло время редактирования предыдущего сообщения:

Nineor в сообщении #1095149 писал(а):

$r^{2}=r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}$

Или по простому можно записать так $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Nineor в сообщении #1095149 писал(а):

Так как $v_{z}=0$ и $B_{y}=\operatorname{const}$, то
$\vec{v} \times \vec{B}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ v_{x} & v_{y} & 0\\ B_{x} & \operatorname{const}& B_{z} \end{vmatrix}=B_{z}v_{y}\vec{i}-B_{z}v_{y}\vec{j}+v_{x}(\operatorname{const}-B_{x})\vec{k}$

Опять опечатался - в определителе матрицы скорость по орту $\vec{j}$ берется по оси $x$, то есть $-B_{z}v_{x}\vec{j}$

[AnatolyBa]

А откуда задача, можно поинтересоваться?

[Nineor]

AnatolyBa в сообщении #1095249 писал(а):

А откуда задача, можно поинтересоваться?

О, эта интересная тема - это задача из сборника, который создавался для моего института. Нигде он не публиковался. Интересен он тем, что в нем для решения этих задач нужно применять прикладное программное обеспечение. В данной задаче я пытаюсь вывести уравнение для построение графика в GeoGebra или какой-нибудь другой программе. Конечно, график можно было бы построить и без уравнения, но в условии сказано, что его надо найти...

[AnatolyBa]

Nineor в сообщении #1095250 писал(а):

нужно применять прикладное программное обеспечение

Это кое-что объясняет.
Видите ли, эта задача показалась мне странной, потому что мне не удалось выразить решение в элементарных функциях. А ответ требуется конкретный, в цифрах; и какие-то приближения, которые обычно делаются, здесь не подходят.
Уравнения вы составили правильно, но что дальше? Надо же их решать. Закон сохранения кинетической энергии поможет. Также поможет связь $v_y$ и $x$ (в ваших обозначениях) на которую намекал DimaM. Но все равно в конце концов остается дифференциальное уравнение, которое можно решать только численно (по крайней мере другого варианта я не вижу)

[Nineor]

AnatolyBa в сообщении #1095268 писал(а):

Видите ли, эта задача показалась мне странной, потому что мне не удалось выразить решение в элементарных функциях. А ответ требуется конкретный, в цифрах; и какие-то приближения, которые обычно делаются, здесь не подходят.
Уравнения вы составили правильно, но что дальше? Надо же их решать. Закон сохранения кинетической энергии поможет. Также поможет связь $v_y$ и $x$ (в ваших обозначениях) на которую намекал DimaM. Но все равно в конце концов остается дифференциальное уравнение, которое можно решать только численно (по крайней мере другого варианта я не вижу)

То есть, я правильно понимаю, что если я возьму теорему о кинетической энергии, то получу примерно следующую формулу для работы всех сил $A=\frac{m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})}{2}-\frac{mv_{0}}{2}$, которая будет равна нулю т.к. сила Лоренца не совершает работы. Потом из выведенных мной выше уравнений я подставлю значения $v_{x}$ и $v_{y}$ в формулу, и получу дифференциальное уравнение:
$\frac{\pi xm((-a_{y})^{2}+a_{x}^{2})}{\mu_{0}Iq}-\frac{mv_{0}}{2}=0$, которое мне и надо решить?

[AnatolyBa]

Откуда это? (В первом уравнении квадрат забыли, а второе откуда?).
Я не знаю, может для вашего программного обеспечения и не нужно дальнейших аналитических манипуляций, может быть уравнений достаточно.

[DimaM]

Я бы так действовал:
$v_y(x)$ находится аналитически,
из постоянства скорости выражаем $v_x=\dfrac{dx}{dt}$ через $x$ - получаем дифур, разделяем переменные, решаем численно - находим $x(t)$,
полученную зависимость подставляем в выражение для $v_y=\dfrac{dy}{dt}$ - получаем дифур для $y$, решаем его, находим $y(t)$,
выражаем траекторию $y(x)$.
Ускорение зависит только от $x$, поэтому оно находится, когда нашли $x(t)$.
Аналитически, скорее всего, $x(t)$ не получить.

[Nineor]

AnatolyBa в сообщении #1095296 писал(а):

Откуда это? (В первом уравнении квадрат забыли, а второе откуда?).

Упс, да в первом уравнении квадрат действительно забыл. Второй получилось, когда я выразил из полученной мной системы $\left\{\begin{matrix} m\ddot{x}=\dot{y}B_{z}q \\ m\ddot{y}=-\dot{x}B_{z}q \end{matrix}\right.$ значения скоростей $v_{x}=\dot{x}$ и $v_{y}=\dot{y}$, и подставил их в теорему

AnatolyBa в сообщении #1095296 писал(а):

Я не знаю, может для вашего программного обеспечения и не нужно дальнейших аналитических манипуляций, может быть уравнений достаточно.

Боюсь, ни одно программное обеспечение не решит дифференциальное уравнение второго порядка. Они могут решать только интегралы. Если интересно, как решается эта задача через MathCad без нахождения уравнения траектории вот ссылка: http://i.imgur.com/GVM8pYJ.png

[AnatolyBa]

Могу только присоединиться к DimaM А вы свернули куда-то не туда.

Nineor в сообщении #1095308 писал(а):

Боюсь, ни одно программное обеспечение не решит дифференциальное уравнение второго порядка

Как это может быть? Вот по вашей же ссылке как раз и решается уравнение второго порядка. Вводится первая производная как независимая переменная и т. д.

[Nineor]

DimaM в сообщении #1095307 писал(а):

Я бы так действовал:
$v_y(x)$ находится аналитически

Даже не представляю, как его так найти. Может, если я выражу из своей системы $v_y(x)$, то смогу добиться того же? Хотя это бред...

AnatolyBa в сообщении #1095315 писал(а):

Как это может быть? Вот по вашей же ссылке как раз и решается уравнение второго порядка. Вводится первая производная как независимая переменная и т. д.

Да, но я имел ввиду, чтобы сразу находилось уравнение, а там получается лишь таблица с координатами. К тому же, применительно к моей задаче, скорость вдоль оси $y$ будет выражена не целым числом т.е. так график он не построит.

[AnatolyBa]

Подсказка
$m\ddot{y}=m\dfrac{dv_{y}}{dt}=-\dot{x}B_{z}q =-\dot{x}q\frac{\mu _{0}I}{2\pi x}=-\frac{\mu _{0}Iq}{2\pi}\dfrac{d\ln{x}}{dt} $