Тригонометрическое уравнение

[T-Mac]

У меня тоже получается такое уравнение, пока не нашел способ как его решить

[nefus]

Заменили $cosx=t$
$16t^5+8t^4-24t^3-8t^2+8t+1=0$. Попробуйте загнать в Mathematica, че интересно выдаст

[Профессор Снэйп]

А если в комплексную плоскость перейти? Интересно, что-нибудь получится?

Имеем

$$ \cos ax = \frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2} = \frac{u^a + u^{-a}}{2} $$

где $u = e^{ix}$. Тогда наше уравнение переписывается в виде

$$ (u^3+u^{-3})-(u^5+u^{-5}) = u^4+u^{-4} $$

Умножая обе части на $u^5$, приходим к уравнению

$$ u^8+u^2-u^{10}-1=u^9+u $$

или

$$ u^8(u^2+u-1) = u^2-u-1 $$

Ну и какие корни у этого уравнения на единичной окружности лежат? И сколько их? Н-да, похоже, ничего тут дальше не придумывается...

Добавлено спустя 29 минут 27 секунд:

Вот, кстати... Легко показать, что если $|u|=1$, то число

$$ \frac{u^2-u-1}{u^2+u-1} $$

тоже лежит на единичной окружности. А теперь если $u$ пробегает окружность, то сколько кругов проходит значение этой дроби? Похоже, что ни одного, поскольку уравнение

$$ \frac{u^2-u-1}{u^2+u-1} = 1 $$

имеет единственное решение $u=0$, на единичной окружности не лежащее. Отсюда видно, что у нашего уравнения на единичной окружности располагается не менее восьми решений. Ничего себе! Получается, что в промежутке $[0,2\pi)$ исходное уравнение тоже должно иметь не менее восьми решений (но и не более десяти).

[T-Mac]

Есть идея насчет уравнения
Можно попробывать подобрать в исходном уравнениикорни (точнее три корня)
Сейчас пробую осуществить эту идею

[Батороев]

Я тригонометрию порядком подзабыл, но мне кажется, что если обозначить: $ v = cos2x $, $ u = cos3x $,
то, имея в виду:
$ cos4x= 2cos^{2}2x - 1 $;
$ cos5x = cos3x cos2x - \sqrt{1-cos^{2}3x}\sqrt{1-cos^{2}2x} $,
можно получить уравнение четвертой (псевдовторой) степени.

[Someone]

nefus писал(а):

Заменили $cosx=t$
$16t^5+8t^4-24t^3-8t^2+8t+1=0$. Попробуйте загнать в Mathematica, че интересно выдаст

Ну что она даёт... Естественно, Root[1+8#1-8#1^2-24#1^3+8#1^4+16#1^5&,1], Root[1+8#1-8#1^2-24#1^3+8#1^4+16#1^5&,2] и т.д. Численные значения - пожалуйста:
-1.12663580345307182489118239598,
-0.822425170702954479161460999519,
-0.116330562719973078253113710590,
0.601656444964313123412223671157,
0.963735091911686258893533434928.