2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение28.03.2008, 20:32 
У меня тоже получается такое уравнение, пока не нашел способ как его решить

 
 
 
 
Сообщение28.03.2008, 20:34 
Аватара пользователя
Заменили $cosx=t$
$16t^5+8t^4-24t^3-8t^2+8t+1=0$. Попробуйте загнать в Mathematica, че интересно выдаст

 
 
 
 
Сообщение28.03.2008, 21:08 
Аватара пользователя
А если в комплексную плоскость перейти? Интересно, что-нибудь получится?

Имеем

$$
\cos ax = \frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2} = \frac{u^a + u^{-a}}{2}
$$

где $u = e^{ix}$. Тогда наше уравнение переписывается в виде

$$
(u^3+u^{-3})-(u^5+u^{-5}) = u^4+u^{-4}
$$

Умножая обе части на $u^5$, приходим к уравнению

$$
u^8+u^2-u^{10}-1=u^9+u
$$

или

$$
u^8(u^2+u-1) = u^2-u-1
$$

Ну и какие корни у этого уравнения на единичной окружности лежат? И сколько их? Н-да, похоже, ничего тут дальше не придумывается...

Добавлено спустя 29 минут 27 секунд:

Вот, кстати... Легко показать, что если $|u|=1$, то число

$$
\frac{u^2-u-1}{u^2+u-1}
$$

тоже лежит на единичной окружности. А теперь если $u$ пробегает окружность, то сколько кругов проходит значение этой дроби? Похоже, что ни одного, поскольку уравнение

$$
\frac{u^2-u-1}{u^2+u-1} = 1
$$

имеет единственное решение $u=0$, на единичной окружности не лежащее. Отсюда видно, что у нашего уравнения на единичной окружности располагается не менее восьми решений. Ничего себе! Получается, что в промежутке $[0,2\pi)$ исходное уравнение тоже должно иметь не менее восьми решений (но и не более десяти).

 
 
 
 
Сообщение28.03.2008, 23:49 
Есть идея насчет уравнения
Можно попробывать подобрать в исходном уравнениикорни (точнее три корня)
Сейчас пробую осуществить эту идею

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 10:44 
Я тригонометрию порядком подзабыл, но мне кажется, что если обозначить: $ v = cos2x $, $ u = cos3x $,
то, имея в виду:
$ cos4x= 2cos^{2}2x - 1 $;
$ cos5x = cos3x cos2x - \sqrt{1-cos^{2}3x}\sqrt{1-cos^{2}2x} $,
можно получить уравнение четвертой (псевдовторой) степени.

:?:

 
 
 
 
Сообщение29.03.2008, 19:59 
Аватара пользователя
nefus писал(а):
Заменили $cosx=t$
$16t^5+8t^4-24t^3-8t^2+8t+1=0$. Попробуйте загнать в Mathematica, че интересно выдаст


Ну что она даёт... Естественно, Root[1+8#1-8#1^2-24#1^3+8#1^4+16#1^5&,1], Root[1+8#1-8#1^2-24#1^3+8#1^4+16#1^5&,2] и т.д. Численные значения - пожалуйста:
-1.12663580345307182489118239598,
-0.822425170702954479161460999519,
-0.116330562719973078253113710590,
0.601656444964313123412223671157,
0.963735091911686258893533434928.

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group