Пифагоровы числа. Соотношения в тройке.

[serval]

Прошу проверить следующие ниже соотношения пифагоровых чисел.

Пусть $a^2+b^2=c^2$ - пифагорова тройка и $n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}, n_3 \geqslant 0

Тогда либо

$c-a=2\ n_1n_3^2 \ , \ a=n_1(n_2^2-n_3^2) \ , \ b=2\ n_1n_2n_3 \ \ \ (\ast)$

либо

$c-a=n_1(n_2-n_3)^2 \ , \ a=2\ n_1n_2n_3 \ , \ b=n_1(n_2^2-n_3^2) \ \ \ (\ast \ast)$


Например, для первых трёх примитивных пифагоровых троек получим:

Если $3^2+4^2=5^2$ , то по соотношению $(\ast)$

$c-a=5-3=2=2\ n_1n_3^2 \ , \ n_1=n_3=1$

$a=3=n_1(n_2^2-n_3^2)=1(n_2^2-1) \ , n_2=2$

$b=2\ n_1n_2n_3=2\cdot 1\cdot 2\cdot 1=4$


Если $5^2+12^2=13^2$ , то по соотношению $(\ast)$

$c-a=13-5=8=2\ n_1n_3^2=2\cdot 1\cdot 4 \ , \ n_1=1 \ , n_3=2$

$a=5=n_1(n_2^2-n_3^2)=1(n_2^2-4) \ , n_2=3$

$b=2\ n_1n_2n_3=2\cdot 1\cdot 3\cdot 2=12$


Если $8^2+15^2=17^2$ , то по соотношению $(\ast \ast)$

$c-a=17-8=9=n_1(n_2-n_3)^2=1(4-1)^2 , \ n_1=1 \ , n_2=4 \ , n_3=1$

$a=2\ n_1n_2n_3=2\cdot 1\cdot 4\cdot 1=8$

$b=n_1(n_2^2-n_3^2)=1(16-1)=15$

P.S. При наборе заметил, что параметры $n_1, n_2, n_3$ также могут соотноситься вполне определённым образом.

[grizzly]

serval
Вроде так. Вам, наверное, будет интересно прочитать про формулы Евклида для генерации пифагоровых троек -- тогда станет понятно, как это получается.

[Cancre]

Если данная область интересует, то советую
Деза Е.И. "Специальные числа натурального ряда".

[serval]

Вчера поторопился запостить. Сегодня ночью проснулся и понял, что это хорошо известные соотношения

$a=k^2-m^2 \ , b=2km \ , c=k^2+m^2$

Сейчас проверил - так и есть. Я нигде не встречал как они выводятся. Где можно посмотреть?

[ex-math]

Посмотрите у Виноградова в "Основах теории чисел".
А вообще это метод секущих. Вам ведь, по сути, нужны рациональные точки на единичной окружности. Проведите секущую через точку $(-1,0)$, скажем. Легко показать, что вторая точка ее пересечения с окружностью рациональна тогда и только тогда, когда рационален угловой коэффициент секущей. Так получите параметризацию этих рациональных точек.
Дезу не читайте от слова "совсем".

[serval]

У меня эти соотношения получились как целые решения уравнения $y^2=p^2+2px$ где $p=c-a$ . Само же уравнение получено из линейно-алгебраических соображений.

[Shadow]

serval, можете решить уравнение $x^2=(z+y)(z-y)$, где $z,y$ - взаимнопростые нечетные числа?