Сила Лоренца

[Nineor]

Дан прямой бесконечно длинный проводник с током 1А. На расстоянии 0.1м от проводника расположен электрон, направленный перпендикулярно проводнику, начальная скорость которого равна ${10}^{4}$. Чему будет равна скорость и ускорение через 1 сек? Найдите уравнение траектории движения электрона в магнитном поле и рассчитайте его.

Из силы Лоренца я вывел ускорение $a=\frac{qBvsin(\alpha )}{m}$. Магнитную индукцию я нашел через формулу Био-Савара-Лапласа для бесконечно длинного проводника $B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$. Скорость нашел по формуле $v=v_{0}t+at$. В результате ускорение и скорость у меня получились равными $a=3.52\cdot 10^{-13}$ и $v\approx 10^{4}$. Как найти уравнение траектории движения?

Рисунок:

[rustot]

Ускорение не может быть "равным" какой либо константе, поскольку оно переменное. Как только электрон под действием силы чуть отклонится, угол станет другим и сама сила станет другой - и за счет изменения угла и за счет изменения поля

[Nineor]

rustot в сообщении #1094586 писал(а):

Ускорение не может быть "равным" какой либо константе, поскольку оно переменное. Как только электрон под действием силы чуть отклонится, угол станет другим и сама сила станет другой - и за счет изменения угла и за счет изменения поля

Да, я об этом догадывался. Но тогда какие будут проекции скоростей на оси x и y, если скорость электрон перпендикулярны проводнику? Будут ли они равны $v_{x}=v_{0}\cos(\alpha )$ и $v_{y}=v_{0}\sin(\alpha )$?

[rustot]

Поскольку сила всегда перпендикулярна скорости, то модуль скорости не меняется, $v_x^2 + v_y^2$ константа, это упрощает решение

[Nineor]

Тогда уравнение зависимости перемещения от времени будет иметь вид $S(t)=-rcos(\tfrac{vt}{r})$, где r - радиус окружности, по которой вращается электрон, равный $r=\frac{v_{0}\sin(\alpha )}{\frac{e}{m}B}$?

[DimaM]

Nineor в сообщении #1094604 писал(а):

где r - радиус окружности, по которой вращается электрон, равный $r=\frac{v_{0}\sin(\alpha )}{\frac{e}{m}B}$

Поскольку $B$ меняется (равно как и $\alpha$), меняется и радиус кривизны, так что называть траекторию окружностью неправомерно.

Nineor в сообщении #1094592 писал(а):

Но тогда какие будут проекции скоростей на оси x и y, если скорость электрон перпендикулярны проводнику? Будут ли они равны $v_{x}=v_{0}\cos(\alpha )$ и $v_{y}=v_{0}\sin(\alpha )$?

Будут, непременно. Вопрос только в том, что такое $\alpha$.

-- 27.01.2016, 16:41 --

Полезно связать изменение расстояния от электрона до проводника и изменение компоненты скорости, направленной вдоль проводника.

[rustot]

Он не вращается по окружности, для вращения по окружности на него должна действовать постоянная по модулю сила, а она уменьшается по модулю по мере его удаления от провода.

Тут движение с постоянной по модулю скорсотью и переменным радиусом кривизны $r(x) = \frac{m v^2}{F(x)}$, где $x$ текущее расстояние до провода. Поскольку $F(x)$ имеет вид $\frac{n}{x}$, а скорость и масса неизменны, то радиус кривизны имеет вид $r(x) = k x$

[Nineor]

DimaM в сообщении #1094607 писал(а):

Полезно связать изменение расстояния от электрона до проводника и изменение компоненты скорости, направленной вдоль проводника.

Тогда будет что-то типа $S=r+v_{0}\sin(\alpha )$, где r - начальное расстояние, и $v=v_{0}\cos(\alpha )+\frac{at^{2}}{2}$, из которых надо будет найти ускорение.

rustot в сообщении #1094609 писал(а):

Поскольку $F(x)$ имеет вид $\frac{n}{x}$, а скорость и масса неизменны, то радиус кривизны имеет вид $r(x) = k x$

Тогда $k$ это коэффициент убывания радиуса? Чему он равен?

[DimaM]

Nineor в сообщении #1094611 писал(а):

Тогда будет что-то типа $S=r+v_{0}\sin(\alpha )$, где r - начальное расстояние, и $v=v_{0}\cos(\alpha )+\frac{at^{2}}{2}$, из которых надо будет найти ускорение.

Будет не так. А как именно - я и предлагаю вам найти.

[Nineor]

У меня получилась система из двух уравнений $-a\cdot a_{x}=\frac{v_{y}b}{x}$ и $a\cdot a_{y}=\frac{v_{x}b}{x}$, где a и b - коэффициенты убывания ускорения и скорости. Преобразовав их получим $-a_{x}=v_{y}$ и $-\frac{1}{a_{y}}=v_{y}$. Произведя замену $v_{y}$ на $p(y)$, мы придем к интегралу вида $\int p^{2}dp=-\int dy$. Проинтегрируем функцию и получим $p=\sqrt[3]{3(C_{1}-y)}$. Не забывая, что мы осуществляли подстановку, и что $v_{y}=\frac{dy}{dt}$, получим интеграл $\int \frac{dy}{\sqrt[3]{3(C_{1}-y)}}=\int xdx$. Проинтегрируем его и получим $x=C_{2}-\frac{1}{2}\sqrt[3]{3(C_{1}-y)^{2}}$.
Как найти неизвестные константы $C_{1}$ и $C_{2}$?

[DimaM]

Nineor в сообщении #1094628 писал(а):

где a и b - коэффициенты убывания ускорения и скорости

Что это такое?
Кстати, что вы обозначаете буквами $x, y$?

-- 27.01.2016, 20:28 --

Nineor в сообщении #1094628 писал(а):

Как найти неизвестные константы $C_{1}$ и $C_{2}$?

Константы обычно находятся из условия на начальное расстояние и скорость, но у вас уравнение какое-то подозрительное.

[Nineor]

DimaM в сообщении #1094648 писал(а):

Что это такое?
Кстати, что вы обозначаете буквами $x, y$?

Я решил, что у того равенства будут какие-то коэффициенты, которые просто назвал так.
Буквами x и y я обозначал перемещение тела в проекции на оси.

DimaM в сообщении #1094648 писал(а):

Константы обычно находятся из условия на начальное расстояние и скорость, но у вас уравнение какое-то подозрительное.

Вот мое полное решение:
1. Составим систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} -a\ddot{x}=\frac{\dot{y}b}{x} \\ a\ddot{y}=\frac{\dot{x}b}{x} \end{matrix}\right.$
2. Разделим первое уравнение на второе и получим:
$-\frac{\ddot{x}}{\ddot{y}}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$
3. Представив переменные в виде частных производных по времени:
$-\frac{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
Преобразуем:
$-\frac{d^{2}x}{dy^{2}}=\frac{dy}{dx}$
И получим дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка:
${y}''=-\frac{1}{{y}'}$
4. Осуществим подстановку:
${y}'=p(y)$, из чего следует, что ${y}''={p}'{y}'={p}'p$
Получим уравнение:
${p}'p=-\frac{1}{p}$
Преобразуем его в уравнение с разделяющимися переменными:
$\frac{dp}{dy}=-\frac{1}{p^{2}}$
5. Получаем интеграл:
$\int p^{2}dp=-\int dy$
После интегрирования получаем:
$p=(3(C_{1}-y))^{\frac{1}{3}}$
Не забываем, что мы осуществляли подстановку $p={y}'$, тогда ${y}'=(3(C_{1}-y))^{\frac{1}{3}}$
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
$\frac{dy}{dx}=(3(C_{1}-y))^{\frac{1}{3}}$
6. Интегрируем уравнение:
$\int \frac{dy}{(3(C_{1}-y))^{\frac{1}{3}}}=\int dx$
И получаем:
$x=C_{2}-\frac{1}{2}(3(C_{1}-y))^{\frac{2}{3}}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- замените ссылки на картинки в последнем сообщении на нормально набранные формулы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Someone]

Nineor в сообщении #1094654 писал(а):

$-\frac{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
Преобразуем:
$-\frac{d^{2}x}{dy^{2}}=\frac{dy}{dx}$

Бред. Для первых производных этот фокус проходит, а для вторых — нет.

Nineor в сообщении #1094654 писал(а):

$-\frac{\ddot{x}}{\ddot{y}}=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}$

Разделите переменные $x$ и $y$.