Дифференциальное уравнение

[jinma]

Не знаю, с какой стороны подступиться к уравнению $x(\ln x - \ln y)dy - ydx = 0$. Переменные не получается разделить, уравнение не линейное. И не в полных дифференциалах, потому что $\frac {\partial}{\partial x} x(\ln x - \ln y) = \ln x - \ln y + 1 \ne -1 = \frac {\partial}{\partial y}(-y)$. Пытаться найти интегрирующий множитель? Но "на глаз" я его не вижу... Помогите, пожалуйста.

[Brukvalub]

Оно же однородное.

[ewert]

Я зануда, я добавлю: вообще-то про свойства логарифмов ещё в школе проходят...

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1094265 писал(а):

Оно же однородное.

Не "однородное", а "с однородной правой частью". Меня эта терминологическая путаница всегда бесила и бесит. Как жаль, что учебники столь упёрто и назойливо пытаются сбить студиозусов с толку.

[jinma]

Всё понял, большое спасибо!)

[Andrey_Kireew]

jinma в сообщении #1094259 писал(а):

Не знаю, с какой стороны подступиться к уравнению $x(\ln x - \ln y)dy - ydx = 0$. Переменные не получается разделить, уравнение не линейное. И не в полных дифференциалах, потому что $\frac {\partial}{\partial x} x(\ln x - \ln y) = \ln x - \ln y + 1 \ne -1 = \frac {\partial}{\partial y}(-y)$. Пытаться найти интегрирующий множитель? Но "на глаз" я его не вижу... Помогите, пожалуйста.

Привести к виду:
$\frac{\partial ln x}{\partial ln y}=ln x - ln y $,
заменяем $ln x = z $ и $ln y=t$,
получаем:
$\frac{\partial z}{\partial t}-z =-t$,
дальше решаем методом вариации постоянной

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1094271 писал(а):

Не "однородное", а "с однородной правой частью". Меня эта терминологическая путаница всегда бесила и бесит.

Кстати, кто-нибудь объяснит мне, откуда эта терминология взялась? Это имеет какое-то отношение к однородным функциям (в смысле $f(\lambda x) = \lambda^p f(x)$)? Если да, то какое? Не, ну нуль, конечно, однородная функция, причем всех порядков, но...

[Brukvalub]

Andrey_Kireew в сообщении #1094335 писал(а):

Привести к виду:
$\frac{\partial ln x}{\partial ln y}=ln x - ln y $,
заменяем $ln x = z $ и $ln y=t$,
получаем:
$\frac{\partial z}{\partial t}-z =-t$,

Почему-то в ходе решения обыкновенный дифур превратился в дифур в частных производных.

[Andrey_Kireew]

Brukvalub в сообщении #1094364 писал(а):

Почему-то в ходе решения обыкновенный дифур превратился в дифур в частных производных.

это я по привычке все дифференциалы так записываю, чтобы не перепутать с переменной $ d $