Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.

[math.fi]

Помогите дорешать следующую задачу, которую, как я думаю, я уже привел к чему-то, но не хватает какой-то мысли:
Доказать, что последовательности $a_{n} = \sqrt{a_{n-1}\cdot b_{n-1}}$ и $b_{n} = \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}$ стремятся к одному и тому же пределу a и что $0\leqslant a_n-a_0\leqslant \frac{|b_0 - a_0|}{2^n}$ и $0\leqslant b_n-a\leqslant \frac{|b_0 - a_0|}{2^n}$.
Док. Пусть $\lim{a_n} = a$ и $\lim{b_n} = a$, тогда для них можно найти $n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}, \forall n > n_{\varepsilon} : |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$ и в тоже время $n^{\prime}_{\varepsilon}\in\mathbb{N}, \forall n > n^{\prime}_{\varepsilon} : |b_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$.
Далее для $ N = \max(n_{\varepsilon},n^{\prime}_{\varepsilon})$ будет одновременно выполнятся оба условия, поэтому:
$ |a_n - b_n|<|a_n-a| + |a - b_n| = \varepsilon $.
Наверно нужно как-то оценить их. Я попробовал выразить их и получил следующие выражения:
$ a_n = \frac{\sum_{k=0}^n 2^k\cdot a_k + b_0}{2^n} $
$ b_n = a_0^{\frac{1}{2^n}}\prod_{k=0}^{n} b_k^{\frac{1}{2^n}} $
А вот как дальше их оценить не приходит в голову. Помогите пожалуйста.

[svv]

math.fi в сообщении #1093445 писал(а):

Пусть $\lim{a_n} = a$ и $\lim{b_n} = a$

Откуда Вы знаете, что оба предела равны? Ведь это и надо доказать.

Смотрите: пусть $0\leqslant p \leqslant q$. Тогда
$p \leqslant \sqrt{pq} \leqslant q$
$p \leqslant \frac{p+q}2 \leqslant q$

(Оффтоп)

И, более того, $\sqrt{pq}\leqslant \frac{p+q}2$, но без этого факта здесь можно обойтись.

Опираясь на это, докажите, что $|b_n-a_n|$ с каждым следующим $n$ неумолимо уменьшается как минимум вдвое.

[Евгений Машеров]

Расстояние от среднего арифметического двух чисел до любого из них вдвое меньше расстояния между ними. Среднее геометрическое и вообще любое среднее лежит между максимумом и минимумом усредняемых, так что расстояние от него до среднего арифметического по меньшей мере вдвое меньше расстояния между числами.

[dsge]

Возможно, несколько экзотично, но если рассматривать рекуррентные последовательности $a_n, b_n$ как динамическую систему, то множеством неподвижных точек будет биссектриса 1-го квадранта. Линеаризованная система в этих точках будет иметь одно собственное значение 1, а другое меньше единицы (прикинул в уме, может быть и ошибаюсь). Тогда для любой начальной точки, нележащей на биссектрисе, последовательность будет сходиться к точке на биссектрисе, тем самым $a_{\infty}=b_{\infty} $. И степени двойки в оценках должны тоже из этого получаться.

[sergei1961]

dsge-мне кажется, что для динамической системы множеством неподвижных точек будет не биссектриса (отрезок прямой), а график перевёрнутого эллиптического интеграла Лежандра. AGM всё-таки.

[dsge]

sergei1961 мне представляется, что дело обстоит проще, неподвижные точки будут удовлетворять уравнениям

$$a = \sqrt{a\cdot b}, b= \frac{a+b}{2},$$

откуда

$$a = \sqrt{a\cdot b}, b= \frac{a}{2}+\frac{b}{2}$$

если $a >0, b>0$, то $\sqrt{a} = \sqrt{b}, \frac{b}{2}= \frac{a}{2}$

[svv]

То, что точки $(a, a)$ — неподвижные, как бы, очевидно.

[Ms-dos4]

Вообще арифметико-геометрическое среднее довольно известно (хотя формула через эллиптические интегралы может и не часто встречается) и всё это легко гуглится в интернете.

[math.fi]

Для простоты сравним $|b_2-a_2|$ и $|b_1-a_1|$.
1. $ a_1 = a_0^{1/2}\cdot b_0^{1/2}\; \qquad b_1 =\frac{a_0 +b_0}{2} \qquad b_1 - a_1 = \frac{(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})^2}{4}$
2. $ a_2 = a_0^{1/4}\cdot b_0^{1/4}\cdot \frac{(a_0+b_0)^{1/2}}{2}\; \qquad b_2 =\frac{(a_0^{1/2} +b_0^{1/2})^2}{4} \qquad b_2 - a_2 = \frac{a_0+b_0-2(2\cdot 2^{1/2}-1)\cdot a_0^{1/2}\cdot b_0^{1/2} -2\cdot 2^{1/2}(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})}{4}$
Сделаем последнее выражение чуть меньше , что не испортит нашего неравенства и получим:
$b_2 =\frac{(a_0^{1/2} +b_0^{1/2})^2}{4} \qquad b_2 - a_2 = \frac{(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})^2 -\gamma(a_0,b_0)-2\cdot 2^{1/2}(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})}{4}$
$ \frac{|b_2-a_2|}{|b_1-a_1|}<1/2 - \frac{\alpha(a_0,b_0)}{\beta(a_0,b_0)}$.
Что лежит в выражении $ \frac{\alpha(a_0,b_0)}{\beta(a_0,b_0)}$ нам не очень интересно. Убрав его мы лишь усилим неравенство. Тогда получим:
$ \frac{|b_2-a_2|}{|b_1-a_1|}<1/2 $, что и показывает убывание расстояний соседних значений средних, при увеличении значения n.
А это и означает, что они стремятся к одному пределу.
Ну как-то вот так наверно.

-- 24.01.2016, 22:09 --

Всем спасибо за помощь. Все сообщения были очень ценными и помогли.

(Оффтоп)

Есть ли здесь лайки как в фэйсбуке?

[svv]

Если написать:
$a_n$ принадлежит отрезку $[a_{n-1}, b_{n-1}]$, а $b_n$ — его середина;
расстояние от середины отрезка до любой его точки не превосходит половины его длины;
значит, $|b_n-a_n|\leqslant \frac{|b_{n-1}-a_{n-1}|}2$.
— думаю, преподаватель тоже поймёт.

[math.fi]

svv в сообщении #1093978 писал(а):

Если написать:
$a_n$ принадлежит отрезку $[a_{n-1}, b_{n-1}]$, а $b_n$ — его середина;
расстояние от середины отрезка до любой его точки не превосходит половины его длины;
значит, $|b_n-a_n|\leqslant \frac{|b_{n-1}-a_{n-1}|}2$.
— думаю, преподаватель тоже поймёт.

(Оффтоп)

К сожалению, студенческие годы уже прошли. Сейчас же есть желание просто восстановить знания и вести научную деятельность. Возможно нужно окончить магистратуру, но я еще не понял, насколько это нужно. Просто хочется вести научную деятельность и не за что зацепиться

[svv]

(Оффтоп)

Тогда успехов Вам!