2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 13:46 


06/09/15
44
Помогите дорешать следующую задачу, которую, как я думаю, я уже привел к чему-то, но не хватает какой-то мысли:
Доказать, что последовательности $a_{n} = \sqrt{a_{n-1}\cdot b_{n-1}}$ и $b_{n} = \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}$ стремятся к одному и тому же пределу a и что $0\leqslant a_n-a_0\leqslant  \frac{|b_0 - a_0|}{2^n}$ и $0\leqslant b_n-a\leqslant  \frac{|b_0 - a_0|}{2^n}$.
Док. Пусть $\lim{a_n} = a$ и $\lim{b_n} = a$, тогда для них можно найти $n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}, \forall n > n_{\varepsilon} : |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$ и в тоже время $n^{\prime}_{\varepsilon}\in\mathbb{N}, \forall n > n^{\prime}_{\varepsilon} : |b_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$.
Далее для $ N = \max(n_{\varepsilon},n^{\prime}_{\varepsilon})$ будет одновременно выполнятся оба условия, поэтому:
$ |a_n - b_n|<|a_n-a| + |a - b_n| = \varepsilon $.
Наверно нужно как-то оценить их. Я попробовал выразить их и получил следующие выражения:
$
a_n = \frac{\sum_{k=0}^n 2^k\cdot a_k + b_0}{2^n}
$
$
b_n = a_0^{\frac{1}{2^n}}\prod_{k=0}^{n} b_k^{\frac{1}{2^n}}
$
А вот как дальше их оценить не приходит в голову. Помогите пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 14:17 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
math.fi в сообщении #1093445 писал(а):
Пусть $\lim{a_n} = a$ и $\lim{b_n} = a$
Откуда Вы знаете, что оба предела равны? Ведь это и надо доказать.

Смотрите: пусть $0\leqslant p \leqslant q$. Тогда
$p \leqslant \sqrt{pq} \leqslant q$
$p \leqslant \frac{p+q}2 \leqslant q$

(Оффтоп)

И, более того, $\sqrt{pq}\leqslant \frac{p+q}2$, но без этого факта здесь можно обойтись.

Опираясь на это, докажите, что $|b_n-a_n|$ с каждым следующим $n$ неумолимо уменьшается как минимум вдвое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9491
Москва
Расстояние от среднего арифметического двух чисел до любого из них вдвое меньше расстояния между ними. Среднее геометрическое и вообще любое среднее лежит между максимумом и минимумом усредняемых, так что расстояние от него до среднего арифметического по меньшей мере вдвое меньше расстояния между числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 15:12 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Возможно, несколько экзотично, но если рассматривать рекуррентные последовательности $a_n, b_n$ как динамическую систему, то множеством неподвижных точек будет биссектриса 1-го квадранта. Линеаризованная система в этих точках будет иметь одно собственное значение 1, а другое меньше единицы (прикинул в уме, может быть и ошибаюсь). Тогда для любой начальной точки, нележащей на биссектрисе, последовательность будет сходиться к точке на биссектрисе, тем самым $a_{\infty}=b_{\infty} $. И степени двойки в оценках должны тоже из этого получаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 18:57 


25/08/11

1074
dsge-мне кажется, что для динамической системы множеством неподвижных точек будет не биссектриса (отрезок прямой), а график перевёрнутого эллиптического интеграла Лежандра. AGM всё-таки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 20:58 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
sergei1961 мне представляется, что дело обстоит проще, неподвижные точки будут удовлетворять уравнениям
$$a = \sqrt{a\cdot b}, b= \frac{a+b}{2},$$
откуда $$a = \sqrt{a\cdot b}, b= \frac{a}{2}+\frac{b}{2}$$
если $a >0, b>0$, то $\sqrt{a} = \sqrt{b}, \frac{b}{2}= \frac{a}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 21:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
То, что точки $(a, a)$ — неподвижные, как бы, очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение23.01.2016, 22:03 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Вообще арифметико-геометрическое среднее довольно известно (хотя формула через эллиптические интегралы может и не часто встречается) и всё это легко гуглится в интернете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение24.01.2016, 20:31 


06/09/15
44
Для простоты сравним $|b_2-a_2|$ и $|b_1-a_1|$.
1. $ a_1 = a_0^{1/2}\cdot b_0^{1/2}\; \qquad b_1 =\frac{a_0 +b_0}{2} \qquad b_1 - a_1 = \frac{(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})^2}{4}$
2. $ a_2 = a_0^{1/4}\cdot b_0^{1/4}\cdot \frac{(a_0+b_0)^{1/2}}{2}\; \qquad b_2 =\frac{(a_0^{1/2} +b_0^{1/2})^2}{4} \qquad b_2 - a_2 = \frac{a_0+b_0-2(2\cdot 2^{1/2}-1)\cdot a_0^{1/2}\cdot b_0^{1/2} -2\cdot 2^{1/2}(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})}{4}$
Сделаем последнее выражение чуть меньше , что не испортит нашего неравенства и получим:
$b_2 =\frac{(a_0^{1/2} +b_0^{1/2})^2}{4} \qquad b_2 - a_2 = \frac{(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})^2 -\gamma(a_0,b_0)-2\cdot 2^{1/2}(a_0^{1/2}+b_0^{1/2})}{4}$
$ \frac{|b_2-a_2|}{|b_1-a_1|}<1/2 - \frac{\alpha(a_0,b_0)}{\beta(a_0,b_0)}$.
Что лежит в выражении $ \frac{\alpha(a_0,b_0)}{\beta(a_0,b_0)}$ нам не очень интересно. Убрав его мы лишь усилим неравенство. Тогда получим:
$ \frac{|b_2-a_2|}{|b_1-a_1|}<1/2 $, что и показывает убывание расстояний соседних значений средних, при увеличении значения n.
А это и означает, что они стремятся к одному пределу.
Ну как-то вот так наверно.

-- 24.01.2016, 22:09 --

Всем спасибо за помощь. Все сообщения были очень ценными и помогли.

(Оффтоп)

Есть ли здесь лайки как в фэйсбуке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение24.01.2016, 21:31 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Если написать:
$a_n$ принадлежит отрезку $[a_{n-1}, b_{n-1}]$, а $b_n$ — его середина;
расстояние от середины отрезка до любой его точки не превосходит половины его длины;
значит, $|b_n-a_n|\leqslant \frac{|b_{n-1}-a_{n-1}|}2$.
— думаю, преподаватель тоже поймёт. :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение24.01.2016, 21:35 


06/09/15
44
svv в сообщении #1093978 писал(а):
Если написать:
$a_n$ принадлежит отрезку $[a_{n-1}, b_{n-1}]$, а $b_n$ — его середина;
расстояние от середины отрезка до любой его точки не превосходит половины его длины;
значит, $|b_n-a_n|\leqslant \frac{|b_{n-1}-a_{n-1}|}2$.
— думаю, преподаватель тоже поймёт. :P

(Оффтоп)

К сожалению, студенческие годы уже прошли. Сейчас же есть желание просто восстановить знания и вести научную деятельность. Возможно нужно окончить магистратуру, но я еще не понял, насколько это нужно. Просто хочется вести научную деятельность и не за что зацепиться

 Профиль  
                  
 
 Re: Среднее геометрическое. Доказать равенство пределов.
Сообщение24.01.2016, 21:36 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Тогда успехов Вам! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group