Сумма квадратов последовательных чисел - снова квадрат

[Ktina]

Даны $k!+5$ последовательных натуральных чисел, сумма квадратов которых — квадрат натурального числа.
Найти все возможные натуральные значения $k$ и доказать, что других нет.

[Shadow]

Среди последовательных $8n$ чисел ровно $4n$ нечетных, следовательно сумма квадратов таких чисел делится на 4. А среди 5 последовательных чисел - или 2, или 3 нечетных, короче, сумма квадратов $8n+5$ последовательных чисел не может быть квадратом. Значит, $k<4$

1) $k=3$ Ищем среди 11 чисел:

$(n-5)^2+\cdots+(n+5)^2=y^2$

$11n^2+110=y^2,\;y=11z,\; n^2+10=11z^2$ Уравнение Пелля имеет решение $(1,1)$, значит имеет бесконечно много.


2) $k=2$ - среди 7 чисел

$(n-3)^2+\cdots+(n+3)^2=y^2$

$7n^2+28=y^2,\;y=7z,\;n^2+4=7z^2$ нет решений по модулю 7


3) $k!=1$ - среди 6 чисел

$(n-2)^2+\cdots+(n+3)^2=y^2$

$6n^2+6n+19=y^2$

$6n(n+1)\equiv 0 \pmod 4,\;19 \equiv -1 \pmod 4$ - нет решений.

Только при $k=3$

[Ktina]

Shadow в сообщении #1092808 писал(а):

2) $k=2$ - среди 7 чисел

$(n-3)^2+\cdots+(n+3)^2=y^2$

$7n^2+28=y^2,\;y=7z,\;n^2+4=7z^2$ нет решений по модулю 7

Может, всё-таки, по модулю 49?

[Shadow]

Нет, все таки по модулю 7. Речь идет о последнем уравнении $n^2+4=7z^2$

[Ktina]

Shadow
Спасибо!