Шар на краю ступеньки

[OlegCh]

Есть известная задача о падении шара со ступеньки (или о падении шара в пропасть, кому как нравится):

Имеется шар радиуса $R$ массой $m$, лежащий в начальный момент на самом краю ступеньки. В какой-то момент он теряет равновесие и начинает скатываться вниз без проскальзывания в точке $M$. Найти угол $\alpha $ в момент отрыва шара от ступеньки.
---
Классическое решение следующее. До отрыва шара его центр движется по дуге окружности радиуса $R$ и можно рассматривать шар как материальную точку массой $m$, движущуюся по этой траектории. На точку действует центростремительная сила $mgcos\alpha-N$, обеспечивающая ей центростремительное ускорение $v^{2}/R$, где $v$ - скорость центра шара при угле $\alpha $.
То есть, можно записать:
$\frac{v^{2}}{R}=gcos\alpha -\frac{N}{m}$
Скорость $v$ находим из ЗСЭ:
$mg(R-Rcos\alpha )=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{J_{o}\omega ^{2}}{2}$
(здесь $J_o$ - момент инерции шара относительно центра, $\omega$ - его угловая скорость).
Подставляя найденную скорость и учитывая, что в момент отрыва $N=0$, получаем
\cos\alpha =\frac{2}{3+\frac{J_o}{mR^{2}}}$
---
Ну, всё вроде бы понятно. Но я стал решать несколько по-другому и получилась какая-то ерунда.
Значицца так. Рассмотрим движение шара (его поворот) относительно угла ступеньки, т.е. точки $M$. Запишем уравнение движения:
$J\varepsilon =mgsin\alpha \cdot R$
(в левой части произведение момента инерции (отн. точки $M$) на угловое ускорение, в правой - момент силы).
Отсюда угловое ускорение $\varepsilon =\frac{mgsin\alpha \cdot R}{J}=\frac{mgsin\alpha \cdot R}{J_o+mR^{2}}$.
Угловое ускорение шара связано с тангенциальным ускорением его центра: $a_\tau =\varepsilon R$, поэтому можно записать
$a_\tau =\frac{mgsin\alpha \cdot R^{2}}{J_o+mR^{2}}=\frac{gsin\alpha }{1+\frac{J_o}{mR^{2}}}$.
Если же теперь тангенциальное ускорение выразить через проекции сил на касательную к траектории, то получим
$a_\tau =gsin\alpha -\frac{F_{TP}}{m}$.
Приравнивая эти два выражения и учитывая, что в момент отрыва $F_{TP}=0$, получаем очевидную ерунду:
$\frac{gsin\alpha }{1+\frac{J_o}{mR^{2}}}=gsin\alpha$.
Где наврал?

[AnatolyBa]

Я думаю условие "без проскальзывания" - идеальное условие. Формально это означает бесконечный коэффициент трения.
В момент отрыва ($-\varepsilon$) $N$ стремится к нулю а $F_{TP}$ к конечному значению, т. е. условие $F_{TP}=0$ не соблюдается.
Для конечного коэффициента трения должен существовать период проскальзывания когда ваши формулы не верны

[OlegCh]

Как-то не очень убедительно, по-моему. Почему бесконечный коэффициент трения? Просто сила трения сцепления превышает приложенные в данной точке силы, вот шар и не проскальзывает. Достаточно потребовать, чтобы эта сила трения сцепления превышала $mg$. Да и в первом же решении это "идеальное условие" не приводит же ни к каким казусам...

[AnatolyBa]

OlegCh в сообщении #1092653 писал(а):

сила трения сцепления превышает ..

Превышает. А почему? $N$ то уменьшается до нуля.

OlegCh в сообщении #1092653 писал(а):

Да и в первом же решении это "идеальное условие" не приводит же ни к каким казусам

И во втором не приводит если не постулировать $F_{TP}=0$. Более того, из второго решения вы эту силу в момент отрыва можете вычислить.

OlegCh в сообщении #1092653 писал(а):

Как-то не очень убедительно

Ну, что могу

[amon]

IMHO!
В первом решении ни где не сказано, что $N$ и сила трения направлены именно так, как нарисовано на картинке. Буквой $N$ можно с тем же успехом обозначить разность проекций силы трения и реакции опоры на радиус. Поскольку в ноль эти силы обратятся одновременно, то с решением будет все в порядке независимо от направления этих сил.

В Вашем решении Вы явно используете то, что силы направлены так, как на рисунке. Возможно, в этом и проблема.

[OlegCh]

amon в сообщении #1092722 писал(а):

В Вашем решении Вы явно используете то, что силы направлены так, как на рисунке. Возможно, в этом и проблема.

Ну а куда же они ещё могут быть направлены? Ну давайте возьмем не идеальную ступеньку, а закругленную с очень маленьким радиусом скругления. Тогда силы будут так направлены?

[DimaM]

Предположение о необращении силы трения в нуль выглядит чуть ли не единственным разумным.
То есть для падения без проскальзывания в шаре должна быть выемка, в которую уже упирается угол.

[OlegCh]

У меня возникла одна идея. Я, правда, пока не могу ее подкрепить соответствующими расчетами, надо будет подумать. Идея вот в чем. По аналогии со стержнем, который обязательно отрывается от стены (недавно тут ее обмусоливали), здесь получается ситуация, что шар не только отрывается от угла ступеньки при каком-то значении $\alpha < 90^{\circ}$, но и обязательно перед этим начинает проскальзывать при каком-то ${\alpha}' < \alpha$. Ну просто потому, что сила реакции опоры стремится к 0, поэтому сила трения тоже стремится к 0 и в какой-то момент ее уже не хватает, чтобы шар поворачивался дальше без проскальзывания. Отсюда и возникновение такого "парадокса". Есть разумное зерно?

[svv]

Да, есть. Модифицируем задачу, потребовав, чтобы шар был соединён со ступенькой в точке $M$ шарниром. (Понятно, что, пока в исходной задаче шар не оторвался от ступеньки, он ведёт себя так же, как в случае шарнира.)

Вычислим силу, с которой угол ступеньки действует на шар, в зависимости от угла $\alpha$. Разложим эту силу на две составляющие — нормальную $F_n$ и тангенциальную $F_t$ (по отношению к поверхности шара). Мы увидим, что при приближении к углу отрыва $\alpha_0$ исходной задачи отношение $\frac{F_t}{F_n}$ стремится к бесконечности. Поэтому, если заменить тангенциальную составляющую силой трения с конечным коэффициентом, даже большИм, шар незадолго до $\alpha_0$ непременно начнёт нервничать проскальзывать. К счастью, можно просто сказать в условии «проскальзывания нет» — и точка.

OlegCh в сообщении #1092912 писал(а):

Я, правда, пока не могу ее подкрепить соответствующими расчетами

Закон движения шара Вам известен, то есть известен вектор ускорения центра масс, и отсюда равнодействующая всех сил, действующих на шар. Известна сила тяжести. Следовательно, известна и сила со стороны ступеньки. Остаётся разложить её на компоненты.

[OlegCh]

svv в сообщении #1092931 писал(а):

Закон движения шара Вам известен, то есть известно полное ускорение центра масс, и отсюда равнодействующая всех сил, действующих на шар. Известна сила тяжести. Следовательно, известна и сила со стороны ступеньки. Остаётся разложить её на компоненты.

Мне пока не очень понятно как учесть пороговый характер этой силы трения. До какого-то момента это была сила трения покоя, а потом она превратилась в силу трения скольжения $\mu N$.
(Ну и попутно получается, что первое (классическое) решение неверно, т.к. оно не учитывает фазы проскальзывания...?)

[svv]

Но мы не обязаны принимать модель с трением скольжения, когда $F_{\text{тр}}$ не может стать больше $\mu N$. Можем, но это будет уже другая задача. Есть же модель, использованная в классической формулировке, под названием «качение без проскальзывания». К этой модели приближается поведение шара с выемкой (DimaM).

[OlegCh]

svv в сообщении #1092943 писал(а):

Есть же модель, использованная в классической формулировке

Да, но она получается физически не реализуемой...

[svv]

Если бы это была единственная идеализация в физике, не реализуемая в точности.

[AnatolyBa]

По моим прикидкам классическое решение дает угол отрыва порядка 53 градусов. Если же учесть реальное трение, то для коэффициента 0.5 проскальзывание начнется где-то при 45 градусах (для однородного шара) . По моему неплохая точность для идеализированной задачи

[Walker_XXI]

Как мне кажется, в неправильном решении сделано ошибочное предположение, что в момент отрыва $F_\text{тр}=0$. Но в рассматриваемой идеальной модели, вследствие отсутствия проскальзывания, сила трения (а это сила трения покоя) имеет конечное ненулевое значение вплоть до момента отрыва шара. И лишь после отрыва шара скачком становится равной 0 (не забываем, что сила трения покоя не пропорциональна силе реакции). Как выше правильно указали, первое решение позволяет вычислить $F_\text{тр}$.

А вот с силой реакции всё в порядке: и уменьшается она плавно до 0, и направление определено - приложена к точке контакта шара со ступенькой и направлена ортогонально его поверхности, т.е. по радиусу.