Задача по теории вероятностей

[atta_troll]

Есть 10 шаров с номерами 1, 2, ..., 10.
Опыт — все эти шары по одному случайно выложены на 3 полки; пустые полки (одна или две) могут быть (но не обязательно); число мест на каждой полке не ограничено.
Событие$ A$ — хотя бы одна из этих трех полок пустая.
Найти $P(A).$

Мое решение:
выложим шары в произвольной последовательности, между шарами будем располагать разделители полок, их $2$ и они могут принимать $(11+1)/2\cdot11 = 66$ положений в последовательности, если некоторая полка пустая, тогда 2 разделителя находятся вместе в одном из $11$ положений, тогда$P(A) = 11/66 = 1/6$

также я пробовал считать за равновероятное событие попадание $i-го$ шара на$ j-ю$ полку -- преподаватель забраковал такой подход.

[gris]

Интересно Вашим методом посчитать вероятность того, что все шары попадут на одну полку.
А чем плох Ваш второй подход?
Я бы его так реализовал: записываем номера полок. В результате опыта получаем строку типа $1223132212$. Какие строки возможны? Равновероятно ли их появление? Сколько всего строк возможно? Какие благоприятствуют нашему событию? Несложная комбинаторика. Обобщается на любое число шаров, полок, пустых полок.
А можно и по-другому.

[alexo2]

Непонятно, для чего шары пронумерованы..

Искомая вероятность ~1/20...

[Лукомор]

atta_troll в сообщении #1092455 писал(а):

все эти шары по одному случайно выложены на 3 полки

atta_troll в сообщении #1092455 писал(а):

выложим шары в произвольной последовательности, между шарами будем располагать разделители полок,

Вы другую задачу решаете.
Если шары выкладывать по одному, поочередно, на случайную полку - будет один ответ.
А если шары выложить все, а потом делить их перегородками - будет другой ответ.
И, да, нумеровать шары не обязательно, то-есть, если перенумеровывать шары по мере их выкладывания, результат будет тот же, а все вычисления упростятся на порядок...

[atta_troll]

Решение:
Записываем номера полок, на которые попали шары, имеем последовательность из 10 единиц, двоек и троек в произвольном порядке и количестве -- это элементарный исход нашего эксперимента, их полное количество $n=3^1^0$
$A=A_1+A_2+A_3$, где$ A_j$ -- на j-ой полке нет шаров, $m_j$ -- количество элементарных исходов, благоприятствующее $A_j$, очевидно $m_j = 2^1^0$.
$P(A) = P(A_1 + A_2 + A_3) = P(A_1)+P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 A_2) - P(A_1 A_3) - P(A_2 A_3) + P(A_1 A_2 A_3) = (2^1^0 + 2^1^0 + 2^1^0 - 1 - 1 - 1 + 0) / 3^1^0 = (2^1^0 - 1)/3^9$

Это решение при допущении равновероятности элементарных исходов.

gris в сообщении #1092519 писал(а):

Интересно Вашим методом посчитать вероятность того, что все шары попадут на одну полку.
А чем плох Ваш второй подход?
Я бы его так реализовал: записываем номера полок. В результате опыта получаем строку типа $1223132212$. Какие строки возможны? Равновероятно ли их появление? Сколько всего строк возможно? Какие благоприятствуют нашему событию? Несложная комбинаторика. Обобщается на любое число шаров, полок, пустых полок.
А можно и по-другому.

Проблема в том, что преподаватель решает подобные задачи с помощью разделителей.
Шары пронумерованы -- это типичное начало задач этого преподавателя, не обращайте внимание.
Буду очень признателен, если Вы укажете, конкретно какое положение в задаче я нарушаю в первом моем решении.

[provincialka]

atta_troll в сообщении #1092573 писал(а):

конкретно какое положение в задаче я нарушаю в первом моем решении.

Вы использовали неразличимые книги, но не показали, что в этом пространстве исходов элементарные события равновероятны. Модельный эксперимент дает вероятность примерно 5%, как и сказал Лукомор.

[alexo2]

Я не Лукомор..
Ничего не пойму - к чему такие сложности с какими-то переборками, нумерацией полок и проч (ещё вот какие-то "неразличимые книги" появились)?..

Вероятность непопадания каждого шара при выкладывании "вслепую" на каждую конкретную полку равна 2/3 - это очевидно, так как имеем дело с полным множеством возможных событий в этом случае. Вероятность, что 10 шаров также не попадут на эту же полку, соответственно $2^{10}/3^{10}$.
Так как полок 3 и нам не важно, на какую конкретно не попадет ни одного шара, то искомая вероятность:
$2^{10}/3^9 = ~0,05$

[gris]

alexo2, немного не точно. Не учтено, что все шары могут попасть на одну полку. У ТС это учтено. Мелочь, но необходимая для решения учебной задачи.
atta_troll, равновероятными являются только записи попадания шаров на полки с учётом порядка выкладывания (или с учётом номеров шаров). Некоторые записи невозможно разделить разделителями. Например: $1231231231$. Вы, я думаю, подразумеваете сортировку по номерам полок, то есть $1231231231\to 1111|222|333$. Но при сортировке и объединении одинаковых, записи становятся неравновозможными, поэтому формулу классической вероятности применять нельзя.
Например, случаю $1111111111||$ соответствует только один исход, когда все шары попали на первую полку. А случаю $111111111|2|$ целых десять исходов, когда девять шаров попадают на первую, а один (любой!) на вторую полку. То есть этот случай в десять раз более вероятен. То есть отсортированные и объединённые (фактор-множество!) исходы, превращаются в неравновозможные случаи. Ну, конечно, при желании можно посчитать их веса, но это уже лишняя работа.

[alexo2]

gris в сообщении #1092587 писал(а):

alexo2, немного не точно. Не учтено, что все шары могут попасть на одну полку.

У меня, как раз-таки, учтено всё...

[gris]

alexo2 Я ошибся, пардон. У Вас учтено, что шары могут попасть на одну полку, но с перебором — два раза. Если первый шар не попал на первую полку, а на третью, например, то второй вполне может на неё и попасть, оставляя вторую свободной.
Вероятность того, что все шары попадут на одну полку, то есть вероятность ровно двух свободных полок, равна $1/3^9$.
Вероятность ровно одной свободной полки равна $(2^{10}-2)/3^9$.
Вероятность того, что одна или две полки свободны (то есть по крайней мере одна) равна $(2^{10}-1)/3^9$.

[alexo2]

gris в сообщении #1092598 писал(а):

Вероятность того, что одна или две полки свободны (то есть по крайней мере одна) равна $(2^{10}-1)/3^9$.

Я тоже не понял - разве можно явно складывать и вычитать взаимосвязанные вероятности

[gris]

alexo2, "ровно одна полка свободна" и "ровно две полки свободны" события несовместимые. Их вероятности можно складывать. Перемножать нельзя, ибо, да, они не являются независимыми.

[provincialka]

alexo2 в сообщении #1092600 писал(а):

Я тоже не понял - разве можно явно складывать и вычитать взаимосвязанные вероятности

Можно, если аккуратно. Сначала "поработать" с соответствующими событиями.

И вообще, в результате alexo2 и gris выложили полное решение... А ведь можно было просто намекнуть!

[gris]

Решение уже привёл ТС. У меня была та же идея: Из $3^{10}$ строк из единиц, двоек и троек благоприятны те, которые содержат не больше двух цифр. Легко видеть, что их $3\cdot 2^{10}-3$. Вычитаются строки из одной цифры, которые были учтены дважды. У ТС даже понаучнее — формула включений и исключений.

[provincialka]

gris
А! Извините, я не вчиталась в него...