Наибольшее количество чисел на доске

[Ktina]

На доске написаны несколько натуральных чисел. Разность любых двух из них содержит только цифры 2, 3, 5, 6, 9 (не обязательно все эти цифры). Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

[gris]

Попытка. Если из каждого числа некоторого набора чисел вычесть минимальное в этом наборе, то попарные (попеременные?) разности чисел останутся прежними. Поэтому задачу можно так загадать: возьмём ноль в качестве натурального числа. И попробуем дополнять его числами, состоящими из указанных цифр так, чтобы и разности состояли из те же цифр. Ну, например, $\{0,3,6,9\}$. Или $\{0,33,66,99\}$

[12d3]

Оценка сверху - не более 6 чисел. Два числа не могут оканчиваться на одну и ту же цифру, иначе разность будет содержать ноль. Эти 6 чисел должны оканчиваться на 0,2,3,5,6,9. (с учетом зануления минимального числа)

-- Вт янв 19, 2016 10:49:32 --

Придумал пример.
$0,3,6,9,62,65$

[Ktina]

gris
12d3
Спасибо!

Моё решение:

Пусть имеется как минимум 7 чисел. Рассмотрим первые 6 из них. Какие-то 2 из этих 6 дают одинаковый остаток при делении на 5. Следовательно, их разность оканчивается на 5 (так как 0 по условию не разрешён). Тогда возьмём число, стоящее сразу за вторым из вышеописанной пары и посмотрим, какую разность оно даёт с первым из вышеописанной пары. Такая разность может оканчиваться только на 7, 8, 0, 1 или 4, но по условию этого нельзя допустить.
Следовательно, чисел не более 6.

Пример для 6 чисел:
3, 6, 9, 12, 35, 68