2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Наибольшее количество чисел на доске
Сообщение19.01.2016, 01:01 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
На доске написаны несколько натуральных чисел. Разность любых двух из них содержит только цифры 2, 3, 5, 6, 9 (не обязательно все эти цифры). Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшее количество чисел на доске
Сообщение19.01.2016, 10:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Попытка. Если из каждого числа некоторого набора чисел вычесть минимальное в этом наборе, то попарные (попеременные?) разности чисел останутся прежними. Поэтому задачу можно так загадать: возьмём ноль в качестве натурального числа. И попробуем дополнять его числами, состоящими из указанных цифр так, чтобы и разности состояли из те же цифр. Ну, например, $\{0,3,6,9\}$. Или $\{0,33,66,99\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшее количество чисел на доске
Сообщение19.01.2016, 10:47 
Заслуженный участник


04/03/09
906
Оценка сверху - не более 6 чисел. Два числа не могут оканчиваться на одну и ту же цифру, иначе разность будет содержать ноль. Эти 6 чисел должны оканчиваться на 0,2,3,5,6,9. (с учетом зануления минимального числа)

-- Вт янв 19, 2016 10:49:32 --

Придумал пример.
$0,3,6,9,62,65$

 Профиль  
                  
 
 Re: Наибольшее количество чисел на доске
Сообщение19.01.2016, 10:59 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
12d3
Спасибо!

Моё решение:

Пусть имеется как минимум 7 чисел. Рассмотрим первые 6 из них. Какие-то 2 из этих 6 дают одинаковый остаток при делении на 5. Следовательно, их разность оканчивается на 5 (так как 0 по условию не разрешён). Тогда возьмём число, стоящее сразу за вторым из вышеописанной пары и посмотрим, какую разность оно даёт с первым из вышеописанной пары. Такая разность может оканчиваться только на 7, 8, 0, 1 или 4, но по условию этого нельзя допустить.
Следовательно, чисел не более 6.

Пример для 6 чисел:
3, 6, 9, 12, 35, 68

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group