Изоморфность циклической группы и группы остатков

[svv]

Нигде нет никаких шероховатостей или, скажем, недомолвок, если $m+k\geqslant n$ ?

[iifat]

Подозреваю, надо б ещё аналогичную строчку про $\varphi^{-1}$

[provincialka]

timber в сообщении #1091238 писал(а):

$\varphi(a^m) + \varphi(a^k) = \varphi(a^m) \cdot \varphi(a^k) $.

Наверное, это мелочь... Но зачем изображать одну и ту же операцию в $G_2$ двумя символами? И сложением, и умножением... Тем более, что умножение по модулю тоже существует...

[timber]

svv в сообщении #1091239 писал(а):

Нигде нет никаких шероховатостей или, скажем, недомолвок, если $m+k\geqslant n$ ?

Этот момент разве не разрешается тем, что у нас задается операция сложения по модулю $n$ или что-то неправильно понимаю?

[svv]

Если там сложение по модулю, то разрешается. Тогда пара меньших замечаний. 1) Если мы используем и обычное сложение, и по модулю, может, последнее для ясности стоит обозначить другим символом?:
$\varphi(a^m \cdot a^k)=\varphi(a^{m+k}) = m\oplus k = \varphi(a^m) \oplus \varphi(a^k)$
2) Переход $\varphi(a^{m+k}) = m\oplus k$ не требует минимальных пояснений?

[Brukvalub]

Проще доказать общую теорему: любые две группы, задаваемые, с точностью до обозначений элементов, одинаковым набором образующих и определяющих соотношений, изоморфны.

[timber]

svv в сообщении #1091354 писал(а):

Переход $\varphi(a^{m+k}) = m\oplus k$ не требует минимальных пояснений?

Можно доказать, что $a^m \cdot a^k=a^{m+k}=a^l$, где $0 \leqslant m,k,l<n$, тогда и только тогда, когда по модулю $n$ имеет место равенство $m+k=l$.

-- 17.01.2016, 01:38 --

Честно говоря, я так до конца и не осознал, почему $\varphi$ биективно и $ \varphi(a^m)=m$ - изоморфизм? Друзья, пожалуйста, дайте намеки "на пальцах"? Очень хочется предельно подробно понять, что за штука такая!

[provincialka]

Может, вам всё же воспользоваться советом:

Brukvalub в сообщении #1091359 писал(а):

Проще доказать общую теорему: любые две группы, задаваемые, с точностью до обозначений элементов, одинаковым набором образующих и определяющих соотношений, изоморфны.

Заметьте, что в аддитивной записи циклическая группа имеет элементы $0, a, 2a, ..., (n-1)a$, причём $na=0$. Можно ли так представить $G_2$?
(Здесь $2a$ обозначает не умножение на число 2, а сумму $a+a$.)

[timber]

provincialka в сообщении #1091374 писал(а):

Можно ли так представить $G_2$?

Очевидно, что можно.

То есть, мы берем образующие элементы каждой группы, применяем одинаковые групповые операции и смотрим совпадают ли результаты?

Ну, например, группа остатков по модулю $n=5$ имеет элементы $0, 1, 2, 3, 4$ с образующим элементом $a=1$. В аддитивной записи, как Вы показали, циклическая группа так же состоит из элементов $0, 1, 2, 3, 4$, если принять $a=1$. Так?

[Lia]

timber
А может, пора перестать разговаривать по слогам? Напишите что-то более-менее законченное и про него спрашивайте, так это или нет. Задача на три минуты, особенно в подаче Brukvalub.

[timber]

Lia в сообщении #1091445 писал(а):

timber
А может, пора перестать разговаривать по слогам? Напишите что-то более-менее законченное и про него спрашивайте, так это или нет. Задача на три минуты, особенно в подаче Brukvalub.

Lia
ну а что, если я не умею разговаривать предложениями и только учусь? Или у Вас все люди делятся только на две категории - на немых и тех, кто разговаривает прозой?

-- 17.01.2016, 16:11 --

Для меня задача в формате Brukvalub кажется не менее тривиальной. Ну вот такое у меня понимание, что поделать. И что Вы предлагаете мне не участвовать в форуме и сидеть молча.

[timber]

Отлично. Но правда печально.

Извините, но лично у меня складывается такое впечатление, что на форуме может быть отсутствуют участники, которые хорошо понимают абстрактную алгебру и теорию групп, или участники настолько высоко поднялись на вершины математики, что теперь с этой высоты психофизически не способны или просто не имеют желания по каким-то причинам объяснять обычным людям элементарные детали предмета.

Есть конечно еще и особо крайний вариант, что до конца не понимая сам этого, я настолько туплю до изнеможения в отличие от всех нормальных людей, что со мной просто бессмысленно вести образовательный процесс.

[Brukvalub]

timber в сообщении #1091512 писал(а):

до конца не понимая сам этого, я настолько туплю до изнеможения в отличие от всех нормальных людей, что со мной просто бессмысленно вести образовательный процесс.

Золотые слова!

[timber]

Brukvalub в сообщении #1091520 писал(а):

timber в сообщении #1091512 писал(а):

до конца не понимая сам этого, я настолько туплю до изнеможения в отличие от всех нормальных людей, что со мной просто бессмысленно вести образовательный процесс.

Золотые слова!

Кто-бы сомневался в таком ответе!

Думаю, что сам процесс все-таки в большей степени определяется адекватностью преподнесения информации именно тем, кто учит и объясняет. В свою очередь некорректное преподнесение информации порождает у людей чувство безнадежного отупления, что и видно в целом. И почему-то, таких людей большинство. Почему так? Видимо такая хитрая политика, в том числе и математическая. Тут получается такая ситуация -- верхи не хотят, низы не могут.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

А вот Н.В. Гоголь начал комедию "Ревизор" эпиграфом "На зеркало неча пенять, коли рожа крива".
И что он этим хотел сказать?