Новогодняя сумма

[Rak so dna]

Можно ли представить выражение $x(x+2015y-2016z)^2+y(y+2015z-2016x)^2+z(z+2015x-2016y)^2$ в виде $(x-y)^2A+(y-z)^2B+(z-x)^2C$, где $A, B, C$ неотрицательны для любых $x,y,z\geqslant0$

[Sonic86]

$A,B,C$ - многочлены?

[Rak so dna]

Sonic86 в сообщении #1089559 писал(а):

$A,B,C$ - многочлены?

Любые неотрицательные функции

[mihiv]

Это выражение однородная функция 3-ей степени, она не меняется при циклической перестановке $xyz$ и это полином. Поэтому нужное представление можно искать в виде:

$$\sum \limits _{cycl(xyz)}(x-y)^2(px+qy+rz)\qquad (1)$$

Уравнения для коэффициентов $p,q,r$ получим сравнением коэффициентов при одинаковых одночленах в исходном полиноме и выражении (1).
Получим такие уравнения:

$$\begin {cases}p+q=1\\2r+p+q=2016^2+2015^2\\q+r-2p=2\cdot 2015\end {cases}$$

Отсюда $r=2016\cdot 2015,p=\dfrac {2014\cdot 2015+1}3,q=\dfrac {2-2014\cdot 2015}3.$ Так как $q<0$, то линейные множители в (1) могут принимать отрицательные значения при $x,y,z\geq 0$. Нужно, конечно, еще доказать единственность этого представления.

[Rak so dna]

mihiv функции $A,B,C$ не обязаны быть полиномами.

[mihiv]

Rak so dna в сообщении #1089563 писал(а):

Любые неотрицательные функции

Если функции совсем любые, то при $(x-y)(x-z)(y-z)\ne 0$ возьмем: $A=\dfrac {x(x+2015y-2016z)^2}{(x-y)^2}, B=cycl(xyz)A, C=cycl(xyz)B$. При $x=y=z$ положим $A=B=C=0$ и, наконец, при $x=y\ne z, A=B=C=\dfrac {P(x,x,z)}{2(z-x)^2}$, при $x=z\ne y, A=B=C=\dfrac {P(x,y,x)}{2 (x-y)^2}$ и при $y=z\ne x, A=B=C=\dfrac {P(x,y,y)}{2(x-y)^2}$.

Здесь $P(x,y,z)$-исходный полином.

[Rak so dna]

mihiv формально ответ верный, но я думаю Вы понимаете, что имелось ввиду другое решение.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1089557 писал(а):

Можно ли представить выражение $x(x+2015y-2016z)^2+y(y+2015z-2016x)^2+z(z+2015x-2016y)^2$ в виде $(x-y)^2A+(y-z)^2B+(z-x)^2C$, где $A, B, C$ неотрицательны для любых $x,y,z\geqslant0$

Можно:
$\sum\limits_{cyc}x(x+ny-(n+1)z)^2=\sum\limits_{cyc}(x-y)^2\frac{(n-1)^2xy+y^2+(6n+1)yz+n(2n-1)z^2}{x+y+z}$

[Rak so dna]

Еще несколько задач из той же серии.
Можно ли представить выражения:
$\sum\limits_{cyc}x(2015x+y-2016z)^2$
$\sum\limits_{cyc}x^{2016}(x+y-2z)^2$
$\sum\limits_{cyc}z^{2016}(x+y-2z)^2$
в виде $(x-y)^2A+(y-z)^2B+(z-x)^2C$, где $A, B, C$ рациональные функции с неотрицательными коэффициентами.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1098621 писал(а):

Можно ли представить выражения в виде $(x-y)^2A+(y-z)^2B+(z-x)^2C$, где $A, B, C$ рациональные функции с неотрицательными коэффициентами.

Rak so dna в сообщении #1098621 писал(а):

$\sum\limits_{cyc}x(2015x+y-2016z)^2$

Можно:
$\sum\limits_{cyc}x(nx+y-(n+1)z)^2=\sum\limits_{cyc}(x-y)^2\frac{(n^4-n^2+4n-1)x^2y+3n(n^2-1)xyz+n^4y^3+(6n^3+n^2-4n+1)y^2z+(n^4+6n^2+6n-3)yz^2}{n^2(x^2+y^2+z^2)+(2n-1)(xy+yz+zx)}$

Rak so dna в сообщении #1098621 писал(а):

$\sum\limits_{cyc}x^{2016}(x+y-2z)^2$

Нельзя.

Rak so dna в сообщении #1098621 писал(а):

$\sum\limits_{cyc}z^{2016}(x+y-2z)^2$

Можно:
$\sum\limits_{cyc}z^n(x+y-2z)^2=\sum\limits_{cyc}(x-y)^2\frac{x^n(2x^n+y^n)\frac{z^n-y^n}{z-y}+y^n(2y^n+x^n)\frac{z^n-x^n}{z-x}+3x^ny^n\frac{x^n-y^n}{x-y}}{x^n\frac{z^n-y^n}{z-y}+y^n\frac{x^n-z^n}{x-z}+z^n\frac{y^n-x^n}{y-x}}$

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1098621 писал(а):

Можно ли представить выражения в виде $(x-y)^2A+(y-z)^2B+(z-x)^2C$, где $A, B, C$ рациональные функции с неотрицательными коэффициентами.

Rak so dna в сообщении #1098621 писал(а):

$\sum\limits_{cyc}x^{2016}(x+y-2z)^2$

Нельзя.

Моё доказательство строилось на следующем (кажущимся очевидным) утверждении: пусть полином $P(x,y,z)$, можно представить в виде $(x-y)^2A+(y-z)^2B+(z-x)^2C$, где $A, B, C$ рациональные функции с неотрицательными коэффициентами. Тогда полиномы $P(x,x+y,x+y+z)$, $P(x,x+y+z,x+y)$, $P(x+y,x,x+y+z)$, $P(x+y+z,x+y,x)$, $P(x+y,x+y+z,x)$, $P(x+y+z,x,x+y)$ обязаны иметь только неотрицательные коэффициенты.
Докажите, что это утверждение неверно.

[Rak so dna]

Rak so dna в сообщении #1103340 писал(а):

пусть полином $P(x,y,z)$, можно представить в виде $(x-y)^2A+(y-z)^2B+(z-x)^2C$, где $A, B, C$ рациональные функции с неотрицательными коэффициентами. Тогда полиномы $P(x,x+y,x+y+z)$, $P(x,x+y+z,x+y)$, $P(x+y,x,x+y+z)$, $P(x+y+z,x+y,x)$, $P(x+y,x+y+z,x)$, $P(x+y+z,x,x+y)$ обязаны иметь только неотрицательные коэффициенты.
Докажите, что это утверждение неверно.

Первый контрпример:
$P(x,y,z)=x^3-x^2(y+z)-x(2y^2-5yz+2z^2)+3(y^3-y^2z-yz^2+z^3)$
Для него $P(x+y+z,x+y,x)=(4y^2+zy+z^2)x+y^3-zy^2+2z^2y+z^3$ в то же время $P(x,y,z)=(x-y)^2\frac{xy(x+y)^2}{x^2(y+z)+x(y+z)^2+y^3+z^3}+(x-z)^2\frac{xz(x+z)^2}{x^2(y+z)+x(y+z)^2+y^3+z^3}+(y-z)^2\frac{(y+z)(3y^3+8xyz+3z^3)}{x^2(y+z)+x(y+z)^2+y^3+z^3}$ последнюю дробь можно сократить на $(y+z)$, в результате получим знаменатель с одним отрицательным коэффициентом.

Второй контрпример:
$P(x,y,z)=\sum\limits_{cyc}x^2(x+y-2z)^2$
Для него

$$P(x,x+y,x+y+z)=(6y^2+6zy+6z^2)x^2+(10y^3+6zy^2+2z^3)x+5y^4+4zy^3-z^2y^2+z^4$$

и
$P(x,y,z)=$$\sum\limits_{cyc}(x-y)^2\frac{8x^4y^2z+13x^3y^2z^2+(2y^4z+10y^3z^2+4y^2z^3+2z^5)x^2+10xyz^5+y^7+4y^6z+13y^5z^2+18y^4z^3+21y^3z^4+11y^2z^5}{x^5+y^5+z^5+2(y+z)x^4+2(z+x)y^4+2(x+y)z^4+4(y^2+z^2)x^3+4(z^2+x^2)y^3+4(x^2+y^2)z^3}$
Здесь рациональная функция несократима.

Вопрос о представимости $\sum\limits_{cyc}x^{2016}(x+y-2z)^2$ остается открытым. Мне его решить пока не удалось.