Число рёбер тетраэдральной сетки

[Andrey_Kireew]

Исходя из эйлеровой характеристики многосвязного графа получается выражение, связывающее параметры тетраэдральной сетки
$N_{in}+N_p-R+N_e=1$, где $N_{in}$ - число внутренних узлов, $N_p$ - число внешних узлов, $R$ - число рёбер, $N_e$ - число тетраэдров

учитывая, что число граней сетки в 2 раза больше числа тетраэдров (не считая поверхностных граней, число которых можно найти из формулы Эйлера для выпуклых многогранников) получаем
$N_{in}+2N_p-R+N_e=3$

подскажите пожалуйста, как можно выразить число рёбер сетки $R$ через число тетраэдров, число внутренних и внешних узлов

была идея найти его как полусумму валентностей всех узлов сетки $R=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N_p+N_{in}}v_i$, так как валентность - это число рёбер, сходящихся в узле, а каждое ребро принадлежит сразу двум узлам
валентность внутреннего узла находится как
$v_{in}=2+\frac{1}{2}N_e'$, где $N_e'$ - число тетраэдров, с общей вершиной в данном узле
валентность внешнего узла
$v_p=1+\frac{1}{2}N_e'+\frac{1}{2}N_p'$

учитывая, что каждый тетраэдр имеет 4 вершины и при суммировании встречается ровно 4 раза
$R=\frac{1}{2}(2N_{in}+N_p+2N_e+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N_p}N_{pi})$, где $N_{pi}$ - число поверхностных узлов, соседних с i-м поверхностным узлом,
но подстановка этого результата в исходную формулу приводит к явно неверному выражению
$1,5N_p+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N_p}N_{pi}=3$

может кто ни будь подскажет в чём моя ошибка, и как можно решить эту задачу?

[slavav]

Сразу скажу, что не совсем понимаю задачу. Но вычтите второе уравнение из первого и объясните результат. Или объясните почему нельзя вычетать.

[Andrey_Kireew]

slavav в сообщении #1091331 писал(а):

Сразу скажу, что не совсем понимаю задачу. Но вычтите второе уравнение из первого и объясните результат. Или объясните почему нельзя вычетать.

Извиняюсь за ошибку в первом уравнении, правильно так:
$N_{in}+N_p-R+G-N_e=1$ , где $G $- число граней
вторая формула следует из первой, как описано выше

суть задачи в том чтобы связать число тетраэдров с числом внутренних и поверхностных узлов

[slavav]

Почему вы считаете последнее выражение неверным?

[Andrey_Kireew]

slavav в сообщении #1091355 писал(а):

Почему вы считаете последнее выражение неверным?

можно проверить для тетраэдра - оно не сходится: $6+6\ne3$,
да и не подходит такое выражение, ведь мне нужна связь трёх переменных $N_e, N_p, N_{in}$

[Andrey_Kireew]

нашел ошибку в последней формуле, правильно будет
$\sum\limits_{i=1}^{N_p}N_{pi}=6N_p-12$
проверял - вроде везде выполняется,
получается сам подход неверен и таким путём определить число внутренних узлов нельзя

может есть какие либо другие соображения по этому поводу?