Простейшая задача на раскраску

[Ktina]

а) Покрасьте каждое натуральное число в один из 3 цветов так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел одного цвета их сумма была того же цвета.

б) А что будет, если в предыдущем пункте заменить число 3 бОльшим натуральным числом?

[arseniiv]

Ktina в сообщении #1090819 писал(а):

Покрасьте каждое натуральное число в один из 3 цветов так, чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел одного цвета их сумма была того же цвета.

Так понимаю, начинаем с единицы (хотя ноль можно покрасить как угодно, и он не станет мешать) и сумму одинаковых чисел не разрешаем (иначе единица не позволяет удовлетворить условие использования всех цветов).

Красим 1 в синий. Теперь, если покрасить что-то ещё в синий, то придётся закрасить и всё дальше до бесконечности. Тогда в красный и зелёный придётся красить лишь по одному числу — иначе будет коллизия с синим. Значит, 1 синяя, 2 красная, 3 зелёная, 4 и дальше — синие.

Если красить в синий только единицу, получается уж больно много возможностей, а решение уже и так найдено.

Ktina в сообщении #1090819 писал(а):

А что будет, если в предыдущем пункте заменить число 3 бОльшим натуральным числом?

Обобщается очевидно. А вот что будет с «интересными» решениями, если они существовали в предыдущем случае, не знаю…

[Ktina]

arseniiv в сообщении #1090829 писал(а):

...и сумму одинаковых чисел не разрешаем...

А я разрешаю!
Попробуйте снова.

[Shadow]

Ktina, в любом случае более одного раза может быть использован только один цвет.
Если числа $(a,b)$ покрашены в один цвет, а $(c,d)$ - в другой, то число $abcd$ должно быть покрашено в обоих.

[Ktina]

Shadow
Это у меня старческий маразм
Не сумма, а произведение.

[Shadow]

Здрасти
Тогда, например, степеней двойки красим в один цвет, степеней тройки - в другой, все остальные числа - в третий.

[Ktina]

Shadow
У меня вчера в голове какая-то другая задача крутилась, а сегодня вспомнить не могу. Если произведение, то слишком просто. А если сумма, то нет решения. А что вчера было, не помню. Но идея решения была такая:

Если в разложении числа на множетели получается двоек больше, чем троек, красим в первый цвет. Если меньше - во второй. Если поровну - в третий.

Теперь нужно к этому решению придумывать условие

[lopkityu]

(Оффтоп)

Насчет раскрасок и сумм - есть еще такое вот обобщение: topic96318.html