Как строго определять тригонометричсекие функции?

[ellipse]

Никак не могу до конца понять, как определяются тригонометрические функции, что на чем основывать так, чтоб все было строго и не было порочного круга. Евклидово пространство $\mathbb{R}^2$, скалярное произведение, метрика, углы, окружность, длина окружности, показательная функция, ряды, комплексные ряды. В каком порядке идти, чтобы наиболее естественно, но строго, буквально исходя из самых элементарных понятий, не основываясь на наглядности, определить тригонометрические функции?

[Brukvalub]

А в каком месте возникает порочный круг?

[ellipse]

Brukvalub в сообщении #1090712 писал(а):

А в каком месте возникает порочный круг?

Например по Зоричу сначала исходя просто из картинок определяются свойства функции синус, доказывают первый замечательный предел, исходя из чего получают значения производных, ряд Тейлора и его сходимость, затем переходят в комплексную плоскость и находят связь с экспонентой. Не было даже определения числа $\pi$. Не понимаю, куда надо вернуться, с какого места начать, чтоб все было строго. Наверное, надо определять через окружность, длину окружности. Но как это сделать, чтоб не опираться на уже известные свойства триг. функций.

-- Чт янв 14, 2016 21:56:04 --

Еще у Зорича написано, что можно определить триг. функции как ряды, используя свойства разложения экспоненты, но при этом очень трудно доказать такие свойства как $\sin \pi =0$.

[kp9r4d]

Цитата:

Например по Зоричу сначала исходя просто из картинок определяются свойства функции синус, доказывают первый замечательный предел, исходя из чего получают значения производных, ряд Тейлора и его сходимость, затем переходят в комплексную плоскость и находят связь с экспонентой.

Вы его невнимательно читали, он с самого начала предупреждает, что это определение нестрогое, и в будущем будет уточнено.

ellipse в сообщении #1090717 писал(а):

Еще у Зорича написано, что можно определить триг. функции как ряды, используя свойства разложения экспоненты, но при этом очень трудно доказать такие свойства как $\sin \pi =0$.

Ну так и нужно, если формально. Про "очень трудно" либо вы, либо Зорич гиперболизируете, доказательство вполне доступно для придумывания хорошему первокурснику.

[arseniiv]

Ну вот например есть двумерное евклидово пространство — в смысле, двумерное векторное со скалярным произведением; как мы к нему пришли из каких-нибудь ещё соображений — отдельный вопрос. Определили повороты как ортогональные преобразования, не меняющие ориентацию. Теперь берём гомоморфизм $f$ из $(\mathbb R,+)$ в группу поворотов по композиции. Таких гомоморфизмов много, и мы возьмём тот, который отображает $2\pi$ в тождественное преобразование, при этом никакое число из $(0;2\pi)$ в него не переводя. $2\pi$ мы берём как длину единичной окружности, найденную где-нибудь в другом месте — для неё тригонометрия не нужна. Теперь смотрим, во что $f(\alpha)$ отображает вектор $\mathbf e_1$ — в какой-то вектор $c\mathbf e_1 + s\mathbf e_2$. Вот эти-то координаты результата $(c,s)$ и есть косинус и синус. Дальше можно быстренько переехать к рядам, экспоненте (превращаем плоскость в комплексную) и пр..

Это обычное школьное определение через длину пути по единичной окружности, только немного аккуратнее сделанное. Для полной прозрачности за ним скрывается ещё несколько не выписанных здесь обоснований.

[ellipse]

arseniiv в сообщении #1090720 писал(а):

Теперь берём гомоморфизм $f$ из $(\mathbb R,+)$ в группу поворотов по композиции.

Я могу доказать только то, что все ортогональные операторы на плоскости имею вид $A = \begin{Vmatrix} a & -b \\ b & a \end{Vmatrix}$, где $a^2+b^2=1$.

Как записать, исследовать, связать с проекциями $(c,s)$ гомоморфизм $f$ из $(\mathbb R,+)$ в группу поворотов по композиции?

[arseniiv]

Это как раз эквивалентно исследованию синуса и косинуса, т. к. $a = \cos k\alpha$, $b = \sin k\alpha$, где $k$ — произвольное действительное число, своё для каждого гомоморфизма.

-- Пт янв 15, 2016 00:35:29 --

Заодно выходит, что я забыл ещё одно условие наложить на гомоморфизм, а именно что вращение на $\pi/2$ должно переводить $\mathbf e_1$ в $\mathbf e_2$ (а не в $-\mathbf e_2$).

[Aritaborian]

topic84947.html

[ellipse]

Цитата:

и мы возьмём тот, который отображает $2\pi$ в тождественное преобразование

Почему такой гомоморфизм найдется?

[ewert]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1090737 писал(а):

http://dxdy.ru/topic84947.html

Неадекватно: дифуров на сей момент ещё нет. И не может быть.

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1090720 писал(а):

Это обычное школьное определение через длину пути по единичной окружности, только немного аккуратнее сделанное.

Тут небольшая неточность в терминологии: не аккуратнее, а зануднее.

Поскольку про длину все ежи всё понимают (пусть и инстинктивно); а вот про евклидовость и прочее -- на данный момент ровно никому и ни разу не нужно.

[Brukvalub]

ellipse в сообщении #1090717 писал(а):

Не было даже определения числа $\pi$.

И вы этого определения без Зорича не смогли найти?

ellipse в сообщении #1090717 писал(а):

Не понимаю, куда надо вернуться, с какого места начать, чтоб все было строго. Наверное, надо определять через окружность, длину окружности. Но как это сделать, чтоб не опираться на уже известные свойства триг. функций.

И вы ни разу не слышали, что длина окружности есть предел длин правильных вписанных многоугольников?

[arseniiv]

ellipse в сообщении #1090741 писал(а):

Почему такой гомоморфизм найдется?

Надо найти сначала неконстантный гомоморфизм $f$, а потом показать, что для любой вещественной константы $a$ функция $t\mapsto f(at)$ — тоже гомоморфизм: это композиция $f$ с эндоморфизмом $(\mathbb R, +)$. После этого надо показать, что такой неконстантный гомоморфизм где-то в $t_0$ кроме нуля равен тождественному отображению, и что существует $n\in\mathbb N$ такое, что $t_0/n$ — наименьший период $f$.

Можно вообще рассматривать до поры до времени такой гомоморфизм, не уточняя, какой именно, пока не наступит время для связи с известными свойствами синусов-косинусов. Тут и выбрать один из них.

ewert в сообщении #1090780 писал(а):

не аккуратнее, а зануднее

Меня только занудное определение удовлетворяет, значит. И нельзя исключать, что кому-то тоже только такое подавай.

ewert в сообщении #1090780 писал(а):

Неадекватно: дифуров на сей момент ещё нет. И не может быть.

Зато, кстати, там красивое условие для выбора самого «простого» из гомоморфизмов, который величать тригонометрическим: четвёртая производная совпадает с самим им, не умноженным в противном случае на какую-то константу, не равную 1 — и никаких длин окружностей.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1090784 писал(а):

Зато, кстати, там красивое условие для выбора самого «простого» из гомоморфизмов, который величать тригонометрическим: четвёртая производная совпадает с самим им

Четвёртая там уж точно ровно не при чём. А что красивше -- ну, может, и красивше; только уж точно не ко времени.

А, да, почему не ко: да попросту потому, что нет никаких производных.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1090786 писал(а):

Четвёртая там уж точно ровно не при чём.

Можно вторую, но тогда надо ставить минус. Неинтересно.

ewert в сообщении #1090786 писал(а):

А, да, почему не ко: да попросту потому, что нет никаких производных.

Можно и помечтать о лучшем мире, в конце концов. И потом, в упоминавшейся теме вы и так все возражения уже высказали.

[ellipse]

Brukvalub в сообщении #1090783 писал(а):

ellipse в сообщении #1090717 писал(а):

Не было даже определения числа $\pi$.

И вы ни разу не слышали, что длина окружности есть предел длин правильных вписанных многоугольников?

Если строго, то тут надо аккуратно все определять. Что такое длина и почему она равна пределу длин правильных вписанных многоугольников.

Даже если мы определим длину окружности, то как доказать, что ряд

$f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

равен нулю при $x=2\pi k$, где $2\pi$ есть предел длин правильных вписанных многоугольников?