Колебания на стержне

[mindroz]

Имеется невесомый стержень длиной $l$, пружина жестью $k$ закреплена посередине стержня, масса грузов $m$ и $2m$. Стержень закреплен слева и может вращаться. Горизонтальное положение - положение равновесия. Необходимо найти период колебаний стержня.
Я рассуждал так: 2 груза можно заменить одним, таким, чтобы момент сил относительно точки слева был таким же, как и с двумя грузиками. Найдем его массу $M_n$.
Сначала момент сил, поворачивающий по часовой стрелке $M$ был равен
$M=m\frac{l}{4}+2ml=\frac{9ml}{4}$
Тогда масса нашего нового грузика
$M_n=\frac{9ml\cdot2}{4\cdot l}=\frac{9m}{2}$.
А дальнейшие колебания уже рассматривать как колебания груза массой $M_n$ на пружине в поле тяжести с периодом $T=2\pi\sqrt{\frac{M_n}{k}}$.
Скажите, пожалуйста, можно ли так вычислять период малых колебаний? Если нет, то как надо их искать?

[Mihr]

mindroz в сообщении #1090462 писал(а):

Скажите, пожалуйста, можно ли так вычислять период малых колебаний? Если нет, то как надо их искать?

Нет, так искать период колебаний неправильно. "Эффективное значение массы груза", заменяющее распределённый груз в одной точке при равновесии стержня, не является тем же "эффективным значением массы" для вычисления периода колебаний.
Как считать - другой вопрос. Можно указать, как минимум, два подхода к решению этой задачи, но в обоих потребуется понятие момента инерции механической системы относительно данной оси. Это понятие не очень сложное, но в школьной программе его нет. Если Вы с ним не знакомы, попробуйте освоить его, и можно будет приступить к решению этой задачи.
Для начального освоения довольно и определения момента инерции, а для более подробного ознакомления можно рекомендовать, например, вот эту книгу (написана специально для любознательных старшеклассников):
Я.Б. Зельдович, И.М. Яглом - Высшая математика для начинающих физиков и техников [1982, DjVu]
(там ближе к концу книги есть раздел о приложении математики к физике).

[Munin]

Мне кажется, на уровне старшеклассника можно рассмотреть малые отклонения от положения равновесия, и рассчитать их энергию. И дальше, по аналогии с пружинным маятником. Это - для "старшеклассника-олимпиадника".

Для "студента-физика" рекомендуется, конечно же,
Ландау, Лифшиц. Механика. (Теоретическая физика, т. 1)
читать с начала и до 5-й главы (4-ю главу можно поначалу пропустить).

[DimaM]

Полезно выбрать за переменную угол поворота и записать все через него.
Или уравнение вращательного движения, или энергию при малом смещении.

[svv]

(Оффтоп)

Господа, почему вы считаете, что mindroz незнаком с понятием момента инерции и это понятие надо как-то обходить? Я пробежался по его сообщениям, мне показалось, что он не школьник.

mindroz, я прав?

[mindroz]

(Оффтоп)

Я школьник:). Но с моментом инерции сталкивался, в старом учебнике Мякишева он есть. Пробегусь потом и решу:).

[svv]

Будем описывать положение стержня углом поворота $\varphi$, как советует DimaM. Его производная по времени — угловая скорость:
$\omega=\dot\varphi=\frac{d\varphi}{dt}$
Теперь надо найти кинетическую энергию $T$ стержня с шариками. Если входящие в формулу линейные скорости шариков (они разные!) выразить через $\omega$, обязательно получится выражение такого вида:
$T=\frac 1 2 I \omega^2$,
где $I$ — коэффициент пропорциональности. Он и будет моментом инерции стержня с шариками (относительно точки закрепления).

Остаётся методическая проблема: каким-то доступным способом показать, что так определённый коэффициент войдёт и в уравнение движения стержня. Или... воспользоваться готовым уравнением.

[DimaM]

svv в сообщении #1090635 писал(а):

Остаётся методическая проблема: каким-то доступным способом показать, что так определённый коэффициент войдёт и в уравнение движения стержня.

Для нахождения частоты колебаний уравнения энергии достаточно, так что в первом приближении это и не проблема.

[Mihr]

DimaM в сообщении #1090636 писал(а):

Для нахождения частоты колебаний уравнения энергии достаточно, так что в первом приближении это и не проблема.

Энергетический подход к вычислению периода (или частоты) гармонических колебаний сам по себе тоже не очевиден и требует некоторого обоснования (для ученика обычной школы). Правда, обоснование его недлинное - буквально несколько строк.

[Sicker]

А через лагранжиан все просто выходит.

[DimaM]

Sicker в сообщении #1091676 писал(а):

А через лагранжиан все просто выходит.

Лагранжиан для школьника рановато.

[Munin]

Лагранжиан и есть энергия. Точнее, он состоит из тех же двух слагаемых, что и энергия.

[DimaM]

Munin в сообщении #1091718 писал(а):

Лагранжиан и есть энергия.

Тогда он называется гамильтонианом ;). И его даже первокурсникам давать следует с сугубой осторожностью, не то что школьникам.

[Munin]

Не, гамильтониан штука страшная, потому что от других переменных :-)
Ладно вам. Я сделал оговорку. По сути, рассуждение на основе лагранжиана может быть сведено к рассуждению на основе энергии - если рассматривать по отдельности потенциальную и кинетическую энергии.

[DimaM]

Munin в сообщении #1091769 писал(а):

По сути, рассуждение на основе лагранжиана может быть сведено к рассуждению на основе энергии - если рассматривать по отдельности потенциальную и кинетическую энергии.

Рассуждение для школьников примерно такое: если полная энергия имеет вид

$$E=\dfrac{\mu\dot{\xi}^2}{2}+\dfrac{\kappa\xi^2}{2},$$

то частота колебаний равна $\omega=\sqrt{\dfrac{\kappa}{\mu}}$. Все.
Что сверх этого - уже перебор.