Задача по теории множеств(Кудрявцев введение)

[math.fi]

Найти подмножества A и B множества U, если известно, что
$\forall{x\in U}$ верно равенство:
$X\cap A = X\cup B$.
Тут я начал рассуждать, видимо, неверно:
$ X\cap A = X\cap B \Leftrightarrow (x\in X\cap A \to x \in X \cup B) \wedge (x\in X\cup B \to x \in X \cap A) $

$ (x\in X\cap A \to x \in X \cup B) \Leftrightarrow (x\in X'\vee x\in A') \vee (x \in X \vee x \in B) \Leftrightarrow (x\in X'\vee x\in X) \vee (x \in A' \vee x \in B) \Leftrightarrow (x\in U) \vee (A\subset B) $

$ (x\in X\cup B \to x \in X \cap A) \Leftrightarrow (x\in X'\wedge x\in B') \vee (x \in X \wedge x \in A) \Leftrightarrow (x\in X'\vee x\in X) \wedge (x\in X'\vee x\in A) \wedge(x\in B'\vee x\in X) \wedge (x\in B'\vee x\in A) \Leftrightarrow (x\in U) \wedge (X\subset A) \wedge (B\subset X) \wedge (B\subset A) $
Наверно из
$ (A\subset B) \wedge (B\subset A) \Leftrightarrow A=B$
, но ответ другой.
Что-то я совсем тут запутался. Подскажите ход мысли, если этот не верен.

[Anton_Peplov]

Кто такое множество $X$ и что такое $x$?

[math.fi]

Anton_Peplov в сообщении #1086917 писал(а):

Кто такое множество $X$ и что такое $x$?

Прошу прощения за место
$ \forall x \in U$
нужно
$ \forall X \subset U$

[Anton_Peplov]

Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.

[popolznev]

Anton_Peplov в сообщении #1086920 писал(а):

Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.

И противоположный крайний случай.

[math.fi]

popolznev в сообщении #1086926 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1086920 писал(а):

Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.

И противоположный крайний случай.

Здесь нет лайков. Но мне нравится это решение, спасибо.
Однако интересно, можно ли прийти к результату используя логику предикатов и как это записать правильно?

[arseniiv]

Можно расписать это решение поэлементно, но будет менее прозрачно. А логика предикатов тут в обоих случаях у дел.

[math.fi]

popolznev в сообщении #1086926 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1086920 писал(а):

Если условие выполняется для любого $X \subset U$, то для $X = U$ тоже. Вот это и используйте.

И противоположный крайний случай.

А я опять был не внимателен. Если взять $X \subset U$, то из $X\subset A = U\subset A $ следует, что $U = A$. Но вот как получить, что $B = \emptyset $ - не понятно.
Что-то у меня с логикой вообще беда.

[Lia]

math.fi в сообщении #1087229 писал(а):

Если взять $X \subset U$, то из $X\subset A = U\subset A $ следует, что $U = A$.

Можно поподробнее? Кто на ком стоял?

[Anton_Peplov]

Имелось в виду взять $X = U$. math.fi опечатался.

[math.fi]

Пусть
$ X = \emptyset \qquad \textrm{,тогда } (\emptyset\cap A =\emptyset \cup B) (1) $
из чего следует, что $B = \emptyset $
$ X = U \qquad \textrm{,тогда } (U\cap A = U \cup B) $
из этого и (1) следует $ A = U$

(Оффтоп)

-как избавиться от отступа после символа \\ перевода на новую строку в формуле?
-как записать знак Пусть(обратная скобка)?

[Someone]

(math.fi)

math.fi в сообщении #1090449 писал(а):

как избавиться от отступа после символа \\ перевода на новую строку в формуле?

Не надо включать текст в формулы (за исключением тех случаев, когда текст является неотъемлемой частью формулы). Не надо использовать "\\" (перевод строки) внутри формулы, если это не предусмотрено синтаксисом \LaTeX. Для многострочных формул существуют специальные команды.

Например, ваше сообщение следовало бы набрать так:

Используется синтаксис LaTeX

Пусть $X=\varnothing$, тогда $$\varnothing\cap A=\varnothing\cup B,\eqno(1)$$ из чего следует, что $B=\varnothing$.
Пусть $X=U$, тогда $U\cap A=U\cup B$; из этого и (1) следует, что $A=U$.

Получилось бы вот что:

Пусть $X=\varnothing$, тогда

$$\varnothing\cap A=\varnothing\cup B,\eqno(1)$$

из чего следует, что $B=\varnothing$.
Пусть $X=U$, тогда $U\cap A=U\cup B$; из этого и (1) следует, что $A=U$.

Замечание 1. Тарабарщина получилась из "(1)" при заключении в тег syntax по совершенно непонятной причине.
Замечание 2. Ссылка на (1) не нужна, так как по условию $B\subseteq U$.

math.fi в сообщении #1090449 писал(а):

как записать знак Пусть(обратная скобка)?

Этот "знак", мягко говоря, не является сколько-нибудь распространённым, большинство о существовании такого знака даже не подозревает, поэтому использовать его где-либо, кроме личных записей, не следует.

Для подобных вопросов существует специальный раздел TeXнические обсуждения.